Chủ đề này có 1 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán : Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh $A(\frac{11}{2};\frac{1}{2}).$ Một điểm $M(1;-1)$ nằm trong hình bình hành sao cho $\widehat{MAB}=\widehat{MCB} ;\widehat{BMC}=135^0.$ Tìm tọa độ đỉnh D, biết rằng D thuộc đường tròn $(T):x^2+y^2-2x+2y-3=0$

[caybutbixanh]

Bài toán : Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh $A(\frac{11}{2};\frac{1}{2}).$ Một điểm $M(1;-1)$ nằm trong hình bình hành sao cho $\widehat{MAB}=\widehat{MCB} ;\widehat{BMC}=135^0.$ Tìm tọa độ đỉnh D, biết rằng D thuộc đường tròn $(T):x^2+y^2-2x+2y-3=0$

Lời giải :

 

Dễ thấy M(1;-1) là tâm đường tròn (T) nên $MD=\sqrt{5} \Leftrightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=5 (1)$

Nhìn lên hình vẽ ta thấy điểm A đã biết rõ, do đó nếu có mối liên hệ nào đó giữa A,D ( khoảng cách..) Thì bài toán được giải quyết. Lại thấy điểm M cũng biết rõ.Những nếu để nguyên hình vẽ thì không có gì được giải quyết cả.Từ ý nghĩ về khoảng cách AD mà đã có điểm M nên qua M kẻ đường thẳng song song với AD .Lấy điểm E sao cho AMED là hình bình hành( M ,E khác phía sao với CD ).

Khi đó : $\widehat{CME}=\widehat{CDE}=\widehat{MAB}=\widehat{MCB}$ suy ra tứ giác MDEC là tứ giác nội tiếp.

Suy ra $ \widehat{DMC}+\widehat{DEC}=180^0$

Dễ có :$\Delta ABM=\Delta DCE (c-c-c)\Rightarrow \widehat{AMB}=\widehat{CED}$

Nên $\widehat{AMB}+\widehat{CMD}=180^0$ .Vì vậy $\widehat{AMD}=180^0-135^0=45^0;$

Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác AMD:

$AD^2=AM^2+MD^2-2.AM.MD.\cos45^0=\frac{25}{2} \Leftrightarrow (x-\frac{11}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{25}{2} (2) $

Từ (1) và (2) ta có hệ:

$\begin{cases} (x-\dfrac{11}{2})^2+(y-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{25}{2} \\ \\ (x-1)^2+(y+1)^2=5 \end{cases} $

$\Leftrightarrow \begin{cases} 3x+y-7=0 \\ \\ (x-1)^2 +(y+1)^2=5 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x=3 \Rightarrow y=-2\\ \\  x=2 \Rightarrow y=1 \end{cases}$

Vây $D(3;-2)$ hoặc $D(2;1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 24-03-2016 - 10:46