Chủ đề này có 2 trả lời

[nangbuon]

Cho a,b,c>o. CMR $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

[tungteng532000]

Cho a,b,c>o. CMR $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

$\frac{a}{b}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{(a+b)^2}{b(a+b)}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq \frac{(a+b+b+c)^2}{b(a+b)+bc+ca}=\frac{(a+b)^2+(b+c)^2+2(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)}=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+2$
a=b=c

[KietLW9]

Nhân hai vế của bất đẳng thức với b + c, ta được: $\frac{a(b+c)}{b}+\frac{b(b+c)}{c}+\frac{c(b+c)}{a}\geqslant a+b+\frac{(b+c)^2}{a+b}+b+c$

$\Leftrightarrow \frac{ac}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{c^2}{a}\geqslant b+c+\frac{(b+c)^2}{a+b}$

Điều này đúng do: $\frac{c^2}{a}+\frac{b^2}{b}\geqslant\frac{(b+c)^2}{a+b}$

$\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geqslant 2c$

$\frac{b^2}{c}+c \geqslant 2b$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c