ĐỀ THI HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016 TỈNH PHÚ THỌ
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN: 150 PHÚT
Câu 1(3 điểm):
a) Cho $S=1.2.3+2.3.4+...+n(n+1)(n+2)$ với $n$ là số tự nhiên khác 0.
Chứng minh rằng $4S+1$ là số chính phương.
b) Tìm các số nguyên $x,y$ thoả mãn $x^2+2y^2+2xy=y+2$.
Câu 2( 4 điểm):
a) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{x^5-4x^3-17x+9}{x^4+3x^2+2x+11}$ với $\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{1}{4}$
b) Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=5$ và $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3$
Chứng minh rằng $\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{4}{\sqrt{(a+2)(b+2)(c+2)}}$
Câu 3(4 điểm):
a) Giải phương trình: $(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}2x^2-y^2+xy+y-5x+2=0\\ x^2+y^2+x+y-4=0\end{matrix}\right.$
Câu 4( 7 điểm):
Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB=2R$. Gọi $M$ là điểm bất kỳ thuộc $(O)$ ( $M$ khác $A$ và $B$). Các tiếp tuyến với $(O)$ tại $A$ và $M$ cắt nhau tại $E$. Vẽ $MP \perp AB$ ( $P \in AB$). Vẽ $MQ \perp AE$ ( $Q \in AE$).
a) Chứng minh rằng tứ giác $AEMO$ là tứ giác nội tiếp và $APMQ$ là hình chữ nhật.
b) Chứng minh $PQ,OE,MA$ đồng quy.
c) Gọi K là giao của $EB$ và $MP$. Chứng minh rằng $K$ là trung điểm của $MP$.
d) Đặt $AP=x$, tính $MP$ theo $R,x$. Tìm vị trí điểm $M$ trên $(O)$ để hình chữ nhật $APMQ$ có diện tích lớn nhất.
Câu 5(2 điểm): Cho $a,b,c$ phân biệt. Chứng minh rằng:
$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}) \geq \frac{9}{2}$
Đề thi HSG lớp 9 năm học 2015-2016 tỉnh Phú Thọ
#1
Đã gửi 16-03-2016 - 12:03
- anhtukhon1, I Love MC, marcoreus101 và 15 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 16-03-2016 - 12:31
ĐỀ THI HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016 TỈNH PHÚ THỌ
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN: 150 PHÚT
Câu 1(3 điểm):
a) Cho $S=1.2.3+2.3.4+...+n(n+1)(n+2)$ với $n$ là số tự nhiên khác 0.
Chứng minh rằng $4S+1$ là số chính phương.
b) Tìm các số nguyên $x,y$ thoả mãn $x^2+2y^2+2xy=y+2$.
Làm câu dễ nhất!
a) Dễ chứng minh: $S=1.2.3+2.3.4+\cdots +n(n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
$\Rightarrow 4S+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(n^2+3n+1)^2$ là SCP.
b) $PT\Leftrightarrow 2y^2+(2x-1)y+(x^2-2)=0$. Để PT có nghiệm thì:
$$\Delta _y=(2x-1)^2-8(x^2-2)\geq 0\Leftrightarrow -4x^2-4x+17\geq 0\Leftrightarrow -2\leq x\leq 1\Rightarrow x\in \left \{ -2;-1;0;1 \right \}$$
rồi xét từng TH.
P/S: Anh làm tốt chứ?
- ineX, chaubee2001 và ShenLongHkHT thích
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
#3
Đã gửi 16-03-2016 - 12:53
Đề khá nhiều câu quen thuộc
Câu 1:
b, $PT \Leftrightarrow (x+y)^2=y+2-y^2 \Rightarrow y+2 \ge y^2 \Rightarrow -1 \le y \le 2$
Câu 2:
b, Từ giả thiết dễ dàng có $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=2$, đến đây chỉ việc thế vào mẫu.
Câu 3:
a, $PT \Leftrightarrow \left [ 2\sqrt{2x^{2}+1}-(2x-1) \right ]\left [ 2\sqrt{2x^{2}+1}-(x+2) \right ]=0$
b, $PT(1):$ $(x+y-2)(2x-y-1)=0 $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 16-03-2016 - 12:56
- ineX, leminhnghiatt, chaubee2001 và 2 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 16-03-2016 - 13:35
Câu 5 : Bổ đề : Với $a,b,c$ phân biệt thì $\sum (\frac{a+b}{a-b})^2 \ge 2$
Gợi ý : $\sum \frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}=-1$
Từ đó ta có $\sum \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)^2}=\sum (\frac{a+b}{a-b})^2+3 \ge 5$
Ta có đẳng thức : $(\frac{a}{b-c}+1)(\frac{b}{c-a}+1)(\frac{c}{a-b}+1)=(\frac{a}{b-c}-1)(\frac{b}{c-a}-1)(\frac{c}{a-b}-1)$
$\Rightarrow \sum \frac{ab}{(b-c)(c-a)}=-1$
Suy ra $VT_{cần chứng minh}=(\sum \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2})+\sum \frac{a^2}{(c-b)^2} \ge \frac{5}{2}+(-2)(\sum \frac{ab}{(b-c)(c-a)}=\frac{9}{2}$
- chmod, ineX, le truong son và 3 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 16-03-2016 - 14:34
Làm câu dễ nhất!
a) Dễ chứng minh: $S=1.2.3+2.3.4+\cdots +n(n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
$\Rightarrow 4S+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(n^2+3n+1)^2$ là SCP.
b) $PT\Leftrightarrow 2y^2+(2x-1)y+(x^2-2)=0$. Để PT có nghiệm thì:
$$\Delta _y=(2x-1)^2-8(x^2-2)\geq 0\Leftrightarrow -4x^2-4x+17\geq 0\Leftrightarrow -2\leq x\leq 1\Rightarrow x\in \left \{ -2;-1;0;1 \right \}$$
rồi xét từng TH.
P/S: Anh làm tốt chứ?
anh làm như cc lun
tự nhiên làm kém qá
cách khác cho $(b)$
$pt \Leftrightarrow 4x^2+8y^2+8xy-4y=8$
$\Leftrightarrow (2x+2y)^2+(2y-1)^2=9$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaubee2001: 16-03-2016 - 14:38
#6
Đã gửi 16-03-2016 - 15:12
câu hình a) , b) thì đơn giản , câu c) đã giải ở đây http://diendantoanho...db-thẳng-hàng/
câu c) :$MP=\sqrt{x(2R-x)}$
$S_{APMQ}$=$2S_{AMP}$=$AP.MP$=$x.\sqrt{x(2R-x)}$=$\sqrt{x^3(2R-x)}$=$\sqrt{27}$.$\sqrt{$\frac{x}{3}$.$\frac{x}{3}$.$\frac{x}{3}$.$(2R-x)$}$$ $\leq$ $\sqrt{27}.\frac{(\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{3}+2R-x)^{2}}{16}$=$\sqrt{27}.\frac{R^2}{4}$ đến đây thì dễ rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaibuithd2001: 17-03-2016 - 06:46
#7
Đã gửi 16-03-2016 - 18:52
câu hình a) , b) thì đơn giản , câu c) đã giải ở đây http://diendantoanho...db-thẳng-hàng/
câu c) :$MP=\sqrt{x(2R-x)}$
$S_{APMQ}$=$2S_{AMP}$=$AP.MP$=$x.\sqrt{x(2R-x)}$=$\sqrt{x^3(2R-x)}$=$\sqrt{27}.\sqrt{\frac{x}{3}.\frac{x}{3}.\frac{x}{3}.(2R-x)}$ $\leq$ $\sqrt{27}.\frac{(\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{3}+2R-x)^{2}}{16}$=$\sqrt{27}.\frac{R^2}{4}$ đến đây thì dễ rồi
chỉnh lại latex được không ạ?
#8
Đã gửi 16-03-2016 - 18:53
Câu 3b
$PT(1)\Leftrightarrow 2x^2+x(y-5)-y^2+y+2=0$
Coi pt như pt bậc 2 ẩn $x$ thì $\Delta =(3x-3)^2$, dễ biểu diễn $x$ theo $y$ rồi thay vào $PT(2)$
Tưởng chưa ai làm
Mà đề Phú Thọ năm nay dễ nhỉ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi marcoreus101: 16-03-2016 - 19:29
#9
Đã gửi 16-03-2016 - 19:50
Câu 5 : Bổ đề : Với $a,b,c$ phân biệt thì $\sum (\frac{a+b}{a-b})^2 \ge 2$
Gợi ý : $\sum \frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}=-1$
Từ đó ta có $\sum \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)^2}=\sum (\frac{a+b}{a-b})^2+3 \ge 5$
Ta có đẳng thức : $(\frac{a}{b-c}+1)(\frac{b}{c-a}+1)(\frac{c}{a-b}+1)=(\frac{a}{b-c}-1)(\frac{b}{c-a}-1)(\frac{c}{a-b}-1)$
$\Rightarrow \sum \frac{ab}{(b-c)(c-a)}=-1$
Suy ra $VT_{cần chứng minh}=(\sum \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2})+\sum \frac{a^2}{(c-b)^2} \ge \frac{5}{2}+(-2)(\sum \frac{ab}{(b-c)(c-a)}=\frac{9}{2}$
Cách của bạn khá phức tạp , bài này còn cách ngắn gọn hơn
do vai trò $a,b,c$ là như nhau không mất tính tổng quát $a>b>c$ ta suy ra $a-b>0,b-c>0$
$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq \frac{2}{(a-b)(b-c)}\geq \frac{2}{\frac{(a-b+b-c)^2}{4}}=\frac{8}{(a-c)^2}=\frac{8}{(c-a)^2}$
$\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{(c-a)^2}$
vậy VT $\geq (a^2+b^2+c^2)\frac{9}{(c-a)^2}$ , chứng minh kết thúc nếu chỉ ra $(a^2+b^2+c^2)\frac{9}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{2}$
$ \Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq (c-a)^2\Leftrightarrow (a+c)^2+2b^2\geq 0$ luôn đúng ,, dấu = xảy ra khi $a+c=0, b=0$ và các hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chmod: 16-03-2016 - 19:52
- tpdtthltvp, phamhuy1801, ineX và 4 người khác yêu thích
#10
Đã gửi 16-03-2016 - 22:52
Cách của bạn khá phức tạp , bài này còn cách ngắn gọn hơn
do vai trò $a,b,c$ là như nhau không mất tính tổng quát $a>b>c$ ta suy ra $a-b>0,b-c>0$
$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq \frac{2}{(a-b)(b-c)}\geq \frac{2}{\frac{(a-b+b-c)^2}{4}}=\frac{8}{(a-c)^2}=\frac{8}{(c-a)^2}$
$\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{(c-a)^2}$
vậy VT $\geq (a^2+b^2+c^2)\frac{9}{(c-a)^2}$ , chứng minh kết thúc nếu chỉ ra $(a^2+b^2+c^2)\frac{9}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{2}$
$ \Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq (c-a)^2\Leftrightarrow (a+c)^2+2b^2\geq 0$ luôn đúng ,, dấu = xảy ra khi $a+c=0, b=0$ và các hoán vị
Mình có cách khác như thế này
Chú ý rằng $a^2+b^2+c^2=\frac{(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}\geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}$
Bài toán quy về dạng $\sum (a-b)^2.\sum \frac{1}{(a-b)^2}\geq \frac{27}{2}$
Không mất tính tổng quát giả sử $a>b>c$
Đặt $x=a-b;y=b-c$ thì $c-a=-(x+y)$ với $(x,y>0)$
Bất đẳng thức trở thành $[x^2+y^2+(x+y)^2][\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}]\geq \frac{27}{2}$
Tới đây dễ dàng có $VT\geq \frac{3}{4}(x+y)^2.\frac{9}{(x+y)^2}=\frac{27}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi marcoreus101: 17-03-2016 - 12:00
- ineX và leminhnghiatt thích
#11
Đã gửi 16-03-2016 - 22:55
câu hình a) , b) thì đơn giản , câu c) đã giải ở đây http://diendantoanho...db-thẳng-hàng/
câu c) :$MP=\sqrt{x(2R-x)}$
$S_{APMQ}$=$2S_{AMP}$=$AP.MP$=$x.\sqrt{x(2R-x)}$=$\sqrt{x^3(2R-x)}$=$\sqrt{27}.\sqrt{\frac{x}{3}.\frac{x}{3}.\frac{x}{3}.(2R-x)}$ $\leq$ $\sqrt{27}.\frac{(\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{3}+2R-x)^{2}}{16}$=$\sqrt{27}.\frac{R^2}{4}$ đến đây thì dễ rồi
a cho e hỏi là tới chỗ $\sqrt{x^{3}\left ( 2R-x \right )}$ thì làm như thế nào tiếp ạ, e làm tới chỗ Rx thì dừng, ko biết làm ntn tiếp, chắc ko dùng $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq ab$ được
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TranQuocLap: 16-03-2016 - 22:58
#12
Đã gửi 17-03-2016 - 11:04
Câu 5(2 điểm): Cho $a,b,c$ phân biệt. Chứng minh rằng:
$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}) \geq \frac{9}{2}$
Câu 5 : cách này t nghỉ khá là đơn giản :v
k mất tính tổng quát giả sử $c=min(a,b)$
=> $(a^2+b^2+c^2) *\sum \frac{1}{(a-b)^2} \geq ((a-c)^2 +(b-c)^2)*\sum \frac{1}{(a-c)^2}$
đặt $x=a-c;y=b-c$
$P \geq (x^2+y^2)*(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x-y)^2}) = \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+\frac{x^2+y^2}{(x-y)^2}+2 \geq 2+2+\frac{1}{2} =\frac{9}{2}$ ( Vì $\frac{x^2+y^2}{(x-y)^2} \geq \frac{1}{2}$ và $\frac{x^2}{y^2} +\frac{y^2}{x^2} \geq 2$ )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 17-03-2016 - 11:15
Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường
Roronoa Zoro- One piece
Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065
#13
Đã gửi 17-03-2016 - 22:55
còn câu diện tích có ai làm đc ko ạ?
#14
Đã gửi 18-03-2016 - 06:05
#15
Đã gửi 18-03-2016 - 20:10
"™ I will be the best ™"
______Wukong, League Of Legends
#16
Đã gửi 18-03-2016 - 20:21
Ai làm 3a chưa?
phương trình $2(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=10x^2+3x-6$
$4(2x^2-1)+2x^2+3x-2-2(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=0$ đặt $\sqrt{2x^2-1}=t$ ta được $4t^2+2x^2+3x-2-2(3x+1)t=0$
$(2t-2x+1)(2t-x-2)=0$
- ShenLongHkHT yêu thích
#17
Đã gửi 19-03-2016 - 21:16
Mình trình bày lại cho rõ
Cảm ơn
#18
Đã gửi 31-03-2016 - 20:24
Câu 2a:
Ta có: $\frac{x}{x^{2} + x +1} = \frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow 4x = x^{2} + x+1 \Leftrightarrow x^{2} = 3x-1$
$\Rightarrow x^{3} = x^{2}.x=8x-3$
Tương tự: $x^{4} = 21x-8$ ; $x^{5} = 55x-21$
Thay x vào biểu thức P, rút gọn dần dần, tính được P= $\frac{3}{16}$
Câu này dễ
- Quynh Nga yêu thích
#19
Đã gửi 05-04-2016 - 08:44
Đề khá nhiều câu quen thuộc
Câu 1:
b, $PT \Leftrightarrow (x+y)^2=y+2-y^2 \Rightarrow y+2 \ge y^2 \Rightarrow -1 \le y \le 2$
Câu 2:
b, Từ giả thiết dễ dàng có $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=2$, đến đây chỉ việc thế vào mẫu.
Câu 3:
a, $PT \Leftrightarrow \left [ 2\sqrt{2x^{2}+1}-(2x-1) \right ]\left [ 2\sqrt{2x^{2}+1}-(x+2) \right ]=0$
b, $PT(1):$ $(x+y-2)(2x-y-1)=0 $
cho mình hỏi câu 2 ý b thay vào mẫu rồi làm thế nào bạn????
#20
Đã gửi 27-11-2016 - 10:12
(den day)phương trình $2(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=10x^2+3x-6$
$4(2x^2-1)+2x^2+3x-2-2(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=0$ đặt $\sqrt{2x^2-1}=t$ ta được $4t^2+2x^2+3x-2-2(3x+1)t=0$(tu dat)
$(2t-2x+1)(2t-x-2)=0$
minh hoc hoi dot nen ko hieu lam mong ban lam ro ra
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thaicristiano: 27-11-2016 - 10:14
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh