Chủ đề này có 383 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

Hiện tại mình đang tổng hợp file pdf của topic. Các bạn cho ý kiến về nó nhé

Liệu có cần đáp án không nhỉ ?

Tuyệt lắm ! Cậu cứ tổng hợp đề bài trước đi còn lời giải thì sau ! Còn mấy tháng nghỉ hè mà :v

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 02-06-2016 - 22:02

[tritanngo99]

Mình xin đăng thêm các bài sau:

Bài 131: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTLN:

$P=7(xy+yz+zx)-9xyz$

Bài 132: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn: $ab+bc+ca=1$. Tìm GTNN:

$P=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$

Bài 133: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=5(a+b+c)-2ab$. Tìm GTNN:

$Q=a+b+c+48\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}\right)$

Bài 134: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+6z^2=4z(x+y)$. Tìm GTNN:

$P=\frac{x^3}{y(x+z)^2}+\frac{y^3}{x(y+z)^2}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$

Bài 135: Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn: $ab\ge \frac{7}{3}$ và $3a+57b+7c=3abc+\frac{100}{a}$. Tìm GTNN:

$P=a+b+c$.

(Trích: GSTT)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 10-06-2016 - 11:26

[tuanyeubeo2000]

Mình xin đăng thêm các bài sau:

Bài 132: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn: $ab+bc+ca=1$. Tìm GTNN:

$P=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$

 

$ Ta\quad có\quad { P }^{ 2 }=\sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } }  } +2\sum { \frac { 1 }{ (a+b)(b+c) }  } .Đặt\quad \\ A=\sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } }  } ;B=2\sum { \frac { 1 }{ (a+b)(b+c) }  } .\quad Xét\quad B=2\sum { \frac { 1 }{ (a+b)(b+c) }  } \\ Ta\quad lại\quad có\quad 2\sum { \frac { 1 }{ (a+b)(b+c) }  } =\frac { 4(a+b+c) }{ \prod { (a+b) }  } .Chú\quad ý\quad \\ \prod { (a+b)\le  } (a+b+c)(ab+bc+ca)=a+b+c->B\ge 4.\quad Xét\quad A=\sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } }  } \\ Bây\quad giờ\quad ta\quad sẽ\quad chứng\quad minh\quad :\quad \sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } }  } \ge \frac { 9 }{ 4(ab+bc+ca) } .\quad Thật\quad vậy\quad :\\ Không\quad mất\quad tính\quad tổng\quad quát\quad giả\quad sử\quad c=\quad min\quad \left\{ a,b,c \right\} .\quad Ta\quad có\quad các\quad đánh\quad giá\quad sau\\ \sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } }  } =\frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } } +\frac { 2 }{ (a+c)(b+c) } +\frac { { (a-b) }^{ 2 } }{ { (a+c) }^{ 2 }{ (b+c) }^{ 2 } } \\ \ge \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } } +\frac { 2 }{ (a+c)(b+c) } +\frac { { (a-b) }^{ 2 } }{ 4(ab+bc+ca){ (a+b) }^{ 2 } } .Tiếp\quad tục:\\ \frac { \sum { ab }  }{ { (a+b) }^{ 2 } } =\frac { ab }{ { (a+b) }^{ 2 } } +\frac { c }{ a+b } =\frac { ab }{ { (a+b) }^{ 2 } } +\frac { { 2c }^{ 2 } }{ (c+a)(c+b) } +\frac { c(c-a)(c-b) }{ \prod { (a+b) }  } \\ \ge \frac { ab }{ { (a+b) }^{ 2 } } +\frac { { 2c }^{ 2 } }{ (c+a)(c+b) } .\quad Đến\quad đây\quad \\ ->(\sum { ab } )(\sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } } )\ge \quad  } \frac { ab }{ { (a+b) }^{ 2 } } +\frac { { 2c }^{ 2 } }{ (c+a)(c+b) } +\frac { 2\sum { ab }  }{ (a+c)(b+c) } +\frac { { (a-b) }^{ 2 } }{ 4{ (a+b) }^{ 2 } } \\ =\frac { 9 }{ 4 } ->\sum { \frac { 1 }{ { (a+b) }^{ 2 } }  } \ge \frac { 9 }{ 4(ab+bc+ca) } =\frac { 9 }{ 4 } ->{ P }^{ 2 }=A+B\ge 4+\frac { 9 }{ 4 } =\frac { 25 }{ 4 } \\ ->P\ge \frac { 5 }{ 2 }  $

[Hoang Duong]

Bài 74: Cho x,y,x là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$\sum \frac{x}{1-x^2}$

Ta có bđt sau: $\frac{1}{1-x^2}\geq\frac{3\sqrt{3}x}{2}\Leftrightarrow (x-\frac{1}{\sqrt3})^2(3\sqrt3x+6)\geq 0$ (luôn đúng)

suy ra:

$\sum\frac{x}{1-x^2}\geq\sum\frac{3\sqrt3x^2}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}$
"=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt3}$

[Dinh Xuan Hung]

Mình xin đăng thêm các bài sau:

 

Bài 133: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=5(a+b+c)-2ab$. Tìm GTNN:

$Q=a+b+c+48\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}\right)$

.

(Trích: GSTT)

 

Áp dụng AM-GM ta có 

 

$(a+10)+\frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}+\frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}\geqslant 36$

 

$(b+c)+\frac{16}{\sqrt[3]{b+c}}+\frac{16}{\sqrt[3]{b+c}}+\frac{16}{\sqrt[3]{b+c}}\geqslant 32$

 

$\Rightarrow P\geqslant 36+32-10=58$

 

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a+10=\frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}\\ b+c=\frac{16}{\sqrt[3]{b+c}} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b+c=8 \end{matrix}\right.$

 

Kếp hợp giả thiết ta có $a=2, b=3, c=5$

[phamngochung9a]

Cuối cùng thì file pdf của topic đã hoàn thành 

 

 batdangthucvmf (11).pdf   182.91K   237 Số lần tải

 

File sẽ được cập nhật liên tục...

 

 

 

 

[Dinh Xuan Hung]

Cuối cùng thì file pdf của topic đã hoàn thành 

 

batdangthucvmf (11).pdf

 

File sẽ được cập nhật liên tục...

Hay lắm ! Hy vọng cậu sẽ dần hoàn thành nốt phần lời giải

[tuanyeubeo2000]

Hay lắm ! Hy vọng cậu sẽ dần hoàn thành nốt phần lời giải

phần lời giải mình bạn kia liệu cậu vất vả không 

[Dinh Xuan Hung]

phần lời giải mình bạn kia liệu cậu vất vả không 

Sợ cũng vất vả nên đang tìm người giúp mà chưa được :3

[tien123456789]

Sợ cũng vất vả nên đang tìm người giúp mà chưa được :3

liệu tui có thể giúp được không  

[Hoang Duong]

Có đủ bộ 3 câu cuối như ấn phẩm VMF năm 2015 không nhỉ? làm ấn phẩm 2016 luôn đi các bạn

[tien123456789]

Bài 136: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a\geq 4,b\geq 5,c\geq 6$ và$a^{2}+b^{2}+c^{2}=90$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=a+b+c

Bài 137:Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh rằng:

$\frac{25}{27}\leq (1-4ab)^{2}+(1-4bc)^{2}+(1-4ac)^{2}\leq 3$

Bài 138:Cho x,y,z$\in [0;1]$ thỏa mãn x+y+z=1.Tìm giá trị nhỏ nhất và gí trị lớn nhất của biểu thức:

P=$\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}$

Bài 139:Cho x,y,z$\geq 0$ thỏa mãn x+y+z=1.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

P=$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1-y}{1+y}}+\sqrt{\frac{1-z}{1+z}}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 10-06-2016 - 11:23

[tungteng532000]

Mình xin đăng thêm các bài sau:

Bài 131: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTLN:

$P=7(xy+yz+zx)-9xyz$

 

Biến đổi p,q,r ta có: $2q=p^2-3$
Bđt Schur: $9r\geq p(4q-p^2)=p(p^2-6)$
Do đó $P\leq \frac{7}{2}(p^2-3)-p(p^2-6)\leq 12\Leftrightarrow (-\frac{5}{2}-p)(p-3)^2\leq 0$ (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
MaxP=12.

[tungteng532000]

 

Bài 139:Cho x,y,z$\geq 0$ thỏa mãn x+y+z=1.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

P=$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1-y}{1+y}}+\sqrt{\frac{1-z}{1+z}}$ 

Đặt a=x+y, b=y+z, c=z+x suy ra a+b+c=2.
Ta có: $P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$
Th1: abc=0 giả sử là a=0.
$P=\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}}\geq 2$
Đẳng thức xảy ra khi (a,b,c)=(0,1,1) và các hoán vị hay (x,y,z)=(0,0,1) và các hoán vị.
Th2: abc khác 0.
$P=\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq 2\sum \frac{a}{a+b+c}=2$ (dấu = ko xảy ra)
Mình nghĩ là bài này ko có max.

[tungteng532000]

Bài 136: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn$a\geq 4,b\geq 5,c\geq 6$ và$a^{2}+b^{2}+c^{2}=90$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=a+b+c

Từ giả thiết, ta có: $a=\sqrt{90-b^2-c^2}\leq \sqrt{90-5^2-6^2}<9,b=\sqrt{90-c^2-a^2}\leq \sqrt{90-6^2-4^2}<8,c=\sqrt{90-a^2-b^2}\leq 7$
Ta có: $(a-4)(a-9)\leq 0\Leftrightarrow a^2\leq13a-36$
$(b-5)(b-8)\leq 0\Leftrightarrow b^2\leq 13b-40$
 $(c-6)(c-7)\leq 0\Leftrightarrow c^2\leq13c-42$ 

$\Rightarrow a+b+c\geq 16$
Đẳng thức xảy ra khi a=4,b=5,c=7.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 05-06-2016 - 15:23

[tungteng532000]

 

Bài 138:Cho x,y,z$\in [0;1]$ thỏa mãn x+y+z=1.Tìm giá trị nhỏ nhất và gí trị lớn nhất của biểu thức:

P=$\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}$

 

Min:
Ta có: $\sum \frac{1}{x^2+1}\geq \sum \frac{2-x}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{x(x-1)^2}{2(x^2+1)}\geq 0$ (đúng)
$\Rightarrow P\geq \frac{5}{2}$
Đăng thức xảy ra khi (x,y,z)=(0,0,1) và các hoán vị.
Max:
Ta có: $\frac{1}{1+x^2}\leq \frac{9}{10}-\frac{9}{50}(3x-1)\Leftrightarrow \frac{(3x-1)^2(3x-4)}{50(x^2+1)}\leq 0$ đúng với x,y,z $\in [0;1]$ 
Tương tự như vậy, ta có: $P\leq \frac{27}{10}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 05-06-2016 - 15:41

[tungteng532000]

 

Bài 137:Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh rằng:

$\frac{25}{27}\leq (1-4ab)^{2}+(1-4bc)^{2}+(1-4ac)^{2}\leq 3$

 

Áp dụng bđt $3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2$, ta có:
$(1-4ab)^{2}+(1-4bc)^{2}+(1-4ac)^{2}\geq \frac{(3-4(ab+bc+ca))^2}{3}$
Lại có $3-4(ab+bc+ca)\geq 3-\frac{4}{3}(a+b+c)^2=\frac{5}{3}$
$\Rightarrow (1-4ab)^{2}+(1-4bc)^{2}+(1-4ac)^{2}\geq \frac{5^2}{3^2.3}=\frac{25}{27}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Ta có: $1\geq 1-4ab\geq 1-(a+b)^2\geq 1-(a+b+c)^2\geq 0$
Tương tự ta có: $(1-4ab)^{2}+(1-4bc)^{2}+(1-4ac)^{2}\leq 1+1+1=3$
Đẳng thức xảy ra khi (a,b,c)=(0,0,1) và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 05-06-2016 - 16:01

[tuanyeubeo2000]

 

Bài 134: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+6z^2=4z(x+y)$. Tìm GTNN:

$P=\frac{x^3}{y(x+z)^2}+\frac{y^3}{x(y+z)^2}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$

 

$ giả\quad thiết\quad <=>{ (x+y) }^{ 2 }-8z(x+y)+{ 12z }^{ 2 }\le 0<=>2z\le x+y\le 6z\\ Ta\quad có\quad :y{ (x+z) }^{ 2 }=\frac { 27.2y.(x+z)(x+z) }{ 54 } \le \frac { { (2x+2y+2z) }^{ 3 } }{ 54 } =\frac { 4{ (x+y+z) }^{ 3 } }{ 27 } và\\ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \ge \frac { x+y }{ \sqrt { 2 }  } ;\quad { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }\ge \frac { { (x+y) }^{ 3 } }{ 4 } .\quad Nên\quad ta\quad có\quad :\\ P\ge \frac { 27{ x }^{ 3 }+27{ y }^{ 3 } }{ 4{ (x+y+z) }^{ 3 } } +\frac { x+y }{ z\sqrt { 2 }  } \ge \frac { 27{ (x+y) }^{ 3 } }{ 16{ (x+y+\frac { x+y }{ 2 } ) }^{ 3 } } \ge \frac { 27.8{ .z }^{ 3 } }{ 54{ (x+y) }^{ 3 } } =\frac { 4{ z }^{ 3 } }{ { (x+y) }^{ 3 } } .\\ Đặt\quad \frac { x+y }{ z } =t(t\ge 2)->P\ge \frac { 4 }{ { t }^{ 3 } } +\frac { t }{ \sqrt { 2 }  }  $

[tungteng532000]

$ giả\quad thiết\quad <=>{ (x+y) }^{ 2 }-8z(x+y)+{ 12z }^{ 2 }\le 0<=>2z\le x+y\le 6z\\ Ta\quad có\quad :y{ (x+z) }^{ 2 }=\frac { 27.2y.(x+z)(x+z) }{ 54 } \le \frac { { (2x+2y+2z) }^{ 3 } }{ 54 } =\frac { 4{ (x+y+z) }^{ 3 } }{ 27 } và\\ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \ge \frac { x+y }{ \sqrt { 2 }  } ;\quad { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }\ge \frac { { (x+y) }^{ 3 } }{ 4 } .\quad Nên\quad ta\quad có\quad :\\ P\ge \frac { 27{ x }^{ 3 }+27{ y }^{ 3 } }{ 4{ (x+y+z) }^{ 3 } } +\frac { x+y }{ z\sqrt { 2 }  } \ge \frac { 27{ (x+y) }^{ 3 } }{ 16{ (x+y+\frac { x+y }{ 2 } ) }^{ 3 } } \ge \frac { 27.8{ .z }^{ 3 } }{ 54{ (x+y) }^{ 3 } } =\frac { 4{ z }^{ 3 } }{ { (x+y) }^{ 3 } } .\\ Đặt\quad \frac { x+y }{ z } =t(t\ge 2)->P\ge \frac { 4 }{ { t }^{ 3 } } +\frac { t }{ \sqrt { 2 }  }  $

Bác khảo sát hàm cuối đi   ko được 

[tien123456789]

Đặt a=x+y, b=y+z, c=z+x suy ra a+b+c=2.
Ta có: $P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$
Th1: abc=0 giả sử là a=0.
$P=\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}}\geq 2$
Đẳng thức xảy ra khi (a,b,c)=(0,1,1) và các hoán vị hay (x,y,z)=(0,0,1) và các hoán vị.
Th2: abc khác 0.
$P=\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq 2\sum \frac{a}{a+b+c}=2$ (dấu = ko xảy ra)
Mình nghĩ là bài này ko có max.

Bài này có max mà bạn