Chủ đề này có 383 trả lời

[phamngochung9a]

Bài 157: Cho x,y,z thỏa mãn $0\leq z\leq y\leq x\leq 1$. Tìm max của:
$P=(x^2-y^2)(y-z)+z^2(1-z)$

 

Ta thấy theo bất đẳng thức AM-GM thì 
$P=\frac{1}{3\sqrt{3}-5}(2-\sqrt{3})(x+y)(\sqrt{3}-1)(y-z)(x-y)+z^{2}(1-z)\leq \frac{1}{3\sqrt{3}-5}(\frac{(3-\sqrt{3})x-(\sqrt{3}-1)z}{3})^{3}+z^{2}(1-z)\leq \frac{1}{3\sqrt{3}-5}(\frac{(3-\sqrt{3})-(\sqrt{3}-1)z}{3})^{3}+z^{2}(1-z)$
Đến đây ta khảo sát theo biến z và thấy hàm đã cho nghịch biến trên đoạn [0;1] nên f(z) nhỏ nhất khi z=0 , thay vào ta tìm được max của biểu thức . )

Nhìn lời giải của bác mà em hoa cả mắt, với lại cái hàm đó xét hơi khó. 

Em có lời giải này có vẻ đẹp hơn 

 

Ta có:

$P=f\left ( z \right )=\left ( x^{2}-y^{2} \right )\left ( y-z \right )+z^{2}\left ( 1-z \right )\\=-z^{3}+z^{2}-z\left ( x^{2}-y^{2} \right )+y\left ( x^{2}-y^{2} \right )$

$\Rightarrow f'\left ( z \right )=-3z^{2}+2z-x^{2}+y^{2}\\=z\left ( 2z-3 \right )+y^{2}-x^{2}\leq 0$

 

Vậy $f\left ( z \right )$ là hàm nghịch biến.

 

$\Rightarrow f\left ( z \right )\leq f\left ( 0 \right )=y\left ( x^{2}-y^{2} \right )\leq y\left ( 1-y^{2} \right )$

 

Xét hàm số $g\left ( y \right )=y-y^{3}$ trên $\left [ 0;1 \right ]$, ta có:

 

$g'\left ( y \right )=1-3y^{2}=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

 

$\Rightarrow g\left ( y \right )\leq \max \left \{g\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right );g\left ( 0 \right );g\left ( 1 \right ) \right \} =\frac{2\sqrt{3}}{9}$

 

Vậy $\max P=\frac{2\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=\frac{1}{\sqrt{3}} & & \\ z=0 & & \end{matrix}\right.$

[phamngochung9a]

Bài 155:  $ Cho\quad x,y,z>0\quad thõa\quad mãn\quad :\quad { x }^{ 2 }+{ 8y }^{ 2 }+{ 8z }^{ 2 }=20.\quad Tìm\quad GTLN:\\ P=\frac { { 2x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }(4-yz)+8 } +\frac { y+z }{ x+y+z+1 } -\frac { { x }^{ 2 }+{ (y+z) }^{ 2 } }{ 100 }  $

Ta sẽ chứng minh:

$x^{2}\left ( 4-yz \right )+8\geq 2x\left ( x+y+z+1 \right )$

 

Thật vậy:

 

Xét hiệu

 

$x^{2}\left ( 4-yz \right )+8- 2x\left ( x+y+z+1 \right )\\=2x^{2}-2x-x^{2}.yz-2x\left ( y+z \right )+8\\\geq 2x^{2}-2x+8-\frac{1}{2}x^{2}\left ( y^{2}+z^{2} \right )-x^{2}-\left ( y+z \right )^{2}\\\geq 2x^{2}-2x+8-\frac{1}{2}x^{2}.\frac{20-x^{2}}{8}-x^{2}-\frac{20-x^{2}}{4}\\=\frac{1}{16}\left ( x^{4}-32x+48 \right )\\=\frac{1}{16}\left [ \left ( x^{4}+16+16+16 \right )-32x \right ]\\\geq \frac{1}{16}.\left ( 32x-32x \right )=0$

 

Vậy:

$P\leq \frac{x}{x+y+z+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}-\frac{\left ( x+y+z \right )^{2}}{200}=\frac{x+y+z}{x+y+z+1}-\frac{\left ( x+y+z \right )^{2}}{200}$

 

Đặt $x+y+z=t$ và khảo sát hàm số là xong

[tungteng532000]

158/ Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: xy+x+y=3 .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

$P=\frac{3x}{y+1}+\frac{3y}{x+1}+\frac{xy}{x+y}-(x^{2}+y^{2})$

Đặt $x+y=t$, ta có:$3=xy+t\leq \frac{t^2}{4}+t\Rightarrow t\geq 2$
Và $xy=3-t$
Ta có: $P=\frac{3t^2-6(3-t)+3t}{4}+\frac{3-t}{t}-t^2+2(3-t)$
Khảo sát chắc ok 

[tritanngo99]

Bài 159: Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn: $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}=\frac{1}{\sqrt{xyz}}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{2\sqrt{x}}{1+x}+\frac{2\sqrt{y}}{1+y}+\frac{z-1}{1+z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 15-06-2016 - 20:24
Chú ý ghi STT

[tuanyeubeo2000]

Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn: $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}=\frac{1}{\sqrt{xyz}}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{2\sqrt{x}}{1+x}+\frac{2\sqrt{y}}{1+y}+\frac{z-1}{1+z}$

$ gt\quad <=>\sum { \sqrt { xy } =1.\quad Đặt\quad \sqrt { x } =a;\sqrt { y } =b;\sqrt { z } =c->ab+bc+ca=1.\quad Viết\quad lại\quad : } \\ P=\frac { 2a }{ { a }^{ 2 }+1 } +\frac { 2b }{ { b }^{ 2 }+1 } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } .\quad Ta\quad có\quad :\frac { 2a }{ { a }^{ 2 }+1 } =\frac { 2a }{ (a+b)(a+c) } \\ ->P\le \frac { 4ab+2bc+2ac }{ (a+b)(b+c)(c+a) } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } =\frac { 2(1+ab) }{ (a+b)(b+c)(c+a) } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } \\ \le \frac { 2\sqrt { { (a }^{ 2 }+1)({ b }^{ 2 }+1) }  }{ (a+b)(b+c)(c+a) } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } =\frac { 2(a+b)\sqrt { (a+c)(b+c) }  }{ \prod { (a+b) }  } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } =\frac { 2 }{ \sqrt { (c+a)(c+b) }  } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } \\ =\frac { 2 }{ \sqrt { { c }^{ 2 }+1 }  } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } (\quad hàm\quad c) $

[nguyenhongsonk612]

158/ Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: xy+x+y=3 .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

$P=\frac{3x}{y+1}+\frac{3y}{x+1}+\frac{xy}{x+y}-(x^{2}+y^{2})$

Giải:

Theo BĐT $AM-GM$ ta có $3=xy+x+y\leqslant \frac{(x+y)^2}{4}+(x+y)$ $\Rightarrow x+y\leqslant 2$

Đặt $t=x+y (3< t\leqslant 2)$

$\frac{3x}{y+1}+\frac{3y}{x+1}=\frac{3(x^2+y^2)+3(x+y)}{(x+1)(y+1)}$

                                            $=\frac{3(x+y)^2-6xy+3(x+y)}{xy+x+y+1}$

                                            $\frac{3t^2+9t-18}{4}$

$\frac{xy}{x+y}=\frac{3}{t}-1$

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=t^2+2t-6$

$P=f(t)=\frac{3t^2+9t-18}{4}+\frac{3}{t}-t^2-2t+5$

$f'(t)=\frac{-2t^3+t^2-12}{4t^2}< 0$ $\Rightarrow$ $f(t)$ nghịch biến trên $[2;3)$

$\Rightarrow f(t) \leqslant f(2)=\frac{3}{2}$

Max $P=\frac{3}{2}$ $\Leftrightarrow x=y=1$

[tritanngo99]

Bài 160: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x>y$ và $xy+(x+y)z+z^2=1$. Tìm GTNN của:

$P=\frac{1}{4(x-y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 15-06-2016 - 20:26

[nguyenhongsonk612]

Bài $161$: Cho $a,b,c \in [\frac{1}{2};1]$ và $a+b+c=2$. Tìm GTLN của 

$P=\dfrac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2}+\dfrac{1}{a+c}\sqrt{ac[(a+c)^2-b^2]}+\dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab[(a+b)^2-c^2]}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 16-06-2016 - 16:03

[tungteng532000]

Bài 159: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x>y$ và $xy+(x+y)z+z^2=1$. Tìm GTNN của:

$P=\frac{1}{4(x-y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}$

Giả thiết $(z+x)(z+y)=1$
Ta có: $P=\frac{1}{4(x-y)^2}+(z+x)^2+(z+y)^2=\frac{1}{4(x-y)^2}+(x-y)^2+2\geq 1+2=3$
Bạn tìm hộ nốt dấu = 

[tungteng532000]

 

f'\left ( z \right )=-3z^{2}+2z-x^{2}+y^{2}\\=z\left ( 2z-3 \right )+y^{2}-x^{2}\leq 0$

 

 

 

Hình như bác tính f'(z) sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 15-06-2016 - 15:23

[phamngochung9a]

Hình như bác tính f'(z) sai

Ờ, tại lúc đó vội quá nên hấp tấp 

Em xin giải lại:

 

$P\leq \left ( 1-y^{2} \right )\left ( y-z \right )+z^{2}\left ( 1-z \right )$

 

Coi biểu thức trên là hàm biến $y$, ta có:

 

$f'\left ( y \right )=-3y^{2}+2zy+1=0\\\Rightarrow y=\frac{\sqrt{z^{2}+3}+z}{3}$

 

$\Rightarrow f\left ( y \right )\leq f\left ( \frac{z+\sqrt{z^{2}+3}}{3} \right )\\=\frac{1}{27}\left ( 6\sqrt{z^{2}+3}+2z^{2}\sqrt{z^{2}+3}+2z^{3}-18z \right )+z^{2}\left ( 1-z \right )\\\leq \frac{1}{27}\left ( 6\sqrt{z^{2}+3}+4z^{2}+2z^{3}-18z+27z^{2}-27z^{3} \right )\\=\frac{1}{27}\left ( 6\sqrt{z^{2}+3}+31z^{2}-25z^{3}-18z \right )\\\leq \frac{1}{27}\left ( 6\sqrt{z^{2}+3}+31z^{2}-2\sqrt{25.18}.z^{2} \right )\\\leq \frac{1}{27}\left ( 6\sqrt{z^{2}+3} -11z^{2}\right )$

 

Đến đây đặt $t=\sqrt{z^{2}+3} \quad \quad \left ( t\in \left [ \sqrt{3};2 \right ] \right )$

và khảo sát hàm chắc là ngon ròi

 

Bác kiểm tra xem có tính sai chỗ nào không hộ em nhá

 

Mở rộng:  Với cách làm trên, ta hoàn toàn không hề sử dụng đến giả thiết $z\leq y\leq x$, vì vậy ta có thể chứng minh bài toán chặt hơn là:

 

Với mọi $x,y,z\in \left [ 0;1 \right ]$ thì:

 

 

$\left ( x^{2}-y^{2} \right )\left ( y-z \right )+z^{2}\left ( 1-z \right )\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 16-06-2016 - 11:02

[Dinh Xuan Hung]

Bài 162 (Đề thi thử  THPT Chuyên Lương Văn Tụy lần 3)

 

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x>y>z>0$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$$P=\frac{y}{x-y}+\frac{z}{y-z}+\frac{x^2}{8z\left ( \sqrt{xz}-z \right )}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 16-06-2016 - 12:28

[phamngochung9a]

Bài 162 (Đề thi thử  THPT Chuyên Lương Văn Tụy lần 3)

 

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x>y>z>0$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$$P=\frac{y}{x-y}+\frac{z}{y-z}+\frac{x^2}{8z\left ( \sqrt{xz}-z \right )}$$

 

Áp dụng " Bá đạo thức " Cauchy- Schwarz, ta có:

 

$P=\frac{x}{x-y}+\frac{z}{y-z}+\frac{x^{2}}{8z\left ( \sqrt{xz}-z \right )}-1\\\geq \frac{\left ( \sqrt{x}+\sqrt{z} \right )^{2}}{x-z}+\frac{x^{2}}{8z\left ( \sqrt{xz}-z \right )}-1$

 

Đặt $t=\sqrt{\frac{x}{z}}$, khi đó:

 

$P\geq \frac{\left ( t+1 \right )^{2}}{t^{2}-1}+\frac{t^{4}}{8\left ( t-1 \right )}-1\\=\frac{t^{4}+8t+8}{8\left ( t-1 \right )}-1\\=\frac{t^{4}-32t+48}{8\left ( t-1 \right )}+4\\=\frac{t^{4}+16+16+16-32t}{8\left ( t-1 \right )}+4\\\geq \frac{4\sqrt[4]{t^{4}.16^{3}}-32}{8\left ( t-1 \right )}+4\geq 4$

 

Vậy $\min P=4\Leftrightarrow x=2y=4z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 16-06-2016 - 12:28

[Longtunhientoan2k]

 Có file PDF tổng hợp chưa mấy bác ơi hóng quá

 

 

@ phamngochung9a: Có File PDF ở ngay trang đầu của topic đó bạn 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 16-06-2016 - 22:14

[thuylinhnguyenthptthanhha]

BÀI 16( Chuyên Nguyễn Trãi )
Cho $a,b \in (0,1) ; (a^3+b^3)(a+b) = ab(1-a)(1-b) $
Tìm giá trị lớn nhất của : $\frac{1}{\sqrt{1+a^2} } + \frac{1}{\sqrt{1+b^2}} + 3ab-a^2-b^2 $

From the assumptions, we have:

             $\frac{(a^3+b^3)(a+b)}{ab}=(1-a)(1-b)$     $(1)$

Because:

            $\frac{(a^3+b^3)(a+b)}{ab}=(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a})(a+b)\geq 4ab$

and:

           $(1-a)(1-b)=1-(a+b)+ab\leq 1-2\sqrt{ab}+ab$

Up from (1) inferred:

          $4ab\leq 1-2\sqrt{ab}+ab$

Set $t=ab\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0\leq>

We have:

         $\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}$

and:

        $3ab-a^2-b^2=ab-(a-b)^2\leq ab$

So:

        $F\leq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}+ab=\frac{2}{\sqrt{1+t}}+t$

Review function with $0\leq>

get: $f(t)\leq \frac{6}{\sqrt{10}}+\frac{1}{9}$

at: $a=b=\frac{1}{b}$

Conclude...............................................

 

[Dinh Xuan Hung]

Bài 163:

 

Cho các số thực dương $x,y,z$ với $x^2+y^2+z^2=3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$$P=(x+y+z)^2+\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}-\frac{1}{xy+yz+xz}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 18-06-2016 - 15:30

[tungteng532000]

Bài 163:

 

Cho các số thực dương $x,y,z$ với $x^2+y^2+z^2=3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$$P=(x+y+z)^2+\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}-\frac{1}{xy+yz+xz}$$

Ta có:
$(\sum x)^2-9=-2(\sum x^2-\sum xy)$
$ \frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}-3=\frac{(x+y+z)(\sum x^2-\sum xy)}{xyz}$
$ \frac{1}{3}-\frac{1}{\sum xy}=\frac{-(\sum x^2-\sum xy)}{3(\sum xy)}$
Do đó $P=(\sum x^2-\sum xy)(-2+\frac{x+y+z}{xyz}-\frac{1}{3(xy+yz+zx)})+\frac{35}{3}$
Ta có: $\sum x^2-\sum xy\geq 0$
Và $(x+y+z)(xy+yz+zx)\geq 9xyz$
$\Rightarrow -2+\frac{x+y+z}{xyz}-\frac{1}{3(xy+yz+zx)}\geq -2+\frac{9}{xy+yz+zx}-\frac{1}{3(xy+yz+zx)}\geq -2+\frac{26}{3(xy+yz+zx)}\geq -2+\frac{26}{9}>0$
$\Rightarrow P\geq \frac{35}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 18-06-2016 - 12:03

[hoangthihaiyen2000]

Bài 164 : ( Thi thử lần 2 THPT QG Bắc Giang )
Cho hai số thực $x>1, y>1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của : 
  $P=\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}$

[phamngochung9a]

Bài 164 : ( Thi thử lần 2 THPT QG Bắc Giang )
Cho hai số thực $x>1, y>1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của : 
  $P=\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}$

Ta có:

 

$P=\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}\geq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{x+y-2}$

 

Đặt $t=x+y$ và khảo sát hàm số $f\left ( t \right )=\frac{t^{2}}{t-2}$ trên $\left ( 2;+\infty \right )$, ta được:

 

$f\left ( t \right )\geq f\left ( 4 \right )=8$

 

Vậy $\min P=8\Leftrightarrow x=y=2$

[Dinh Xuan Hung]

Bài 164 : 

 

Cho $x,y,z$ là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

$$P=\frac{x}{\sqrt{2(x^2+y^2)}+\sqrt{2(5y^2-2yz+z^2)}}+\frac{2y+3\sqrt[3]{xy^2}}{x+2y+z}-\frac{(x+2y)^4+81}{72z^2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-06-2016 - 09:03