383 replies to this topic

[tungteng532000]

Bài 164 : 

 

Cho $x,y,z$ là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

$$P=\frac{x}{\sqrt{2(x^2+y^2)}+\sqrt{2(5y^2-2yz+z^2)}}+\frac{2y+3\sqrt[3]{xy^2}}{x+2y+z}-\frac{(x+2y)^4+81}{72z^2}$$

Ta có:
$\sqrt{2(x^2+y^2)}\geq x+y$
$\sqrt{2(5y^2-2yz+z^2)}=\sqrt{2(4y^2+(z-y)^2)}\geq 2y+z-y=y+z$
$3\sqrt[3]{xy^2}\leq x+2y$
$(x+2y)^4+81\geq 18(x+2y)^2$
Do đó $P\leq \frac{2(x+2y)}{x+2y+z}-\frac{18(x+2y)^2}{72z^2}=2-\frac{2z}{x+2y+z}-\frac{(x+2y)^2}{4z^2}$
Đặt $t=\frac{x+2y}{z}$, ta có:
$P\leq 2-\frac{2}{t+1}-\frac{t^2}{4}$
Xét hàm với t là ngon rồi   
 

Edited by tungteng532000, 18-06-2016 - 22:21.

[leminhnghiatt]

Bài 165: Cho $x,y,z \in [1;2]$. Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{(x+y)^2}{2(x+y+z)^2-2(x^2+y^2)-z^2}$$

 

                                                                                       (Đề thi thử đại học trường chuyên Hùng Vương)

Edited by phamngochung9a, 19-06-2016 - 09:03.

[ZOT Murloc]

Bài 165: Cho $x,y,z \in [1;2]$. Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{(x+y)^2}{2(x+y+z)^2-2(x^2+y^2)-z^2}$$

 

                                                                                       (Đề thi thử đại học trường chuyên Hùng Vương)

 

Theo BĐT C-S ta có

 

$2\left ( x^2+y^2 \right )\geq \left ( x+y \right )^2$

 

$\left ( x+y \right )^2+z^2\geq \left ( \frac{x+y+z}{2} \right )^2$

 

Suy ra

 

$P\geq \frac{2}{3}\left ( \frac{x+y}{x+y+z} \right )^2=\frac{2}{3}\left ( \frac{1}{1+\frac{z}{x+y}} \right )^2$

 

Lại có

 

$\frac{z}{x+y}\leq \frac{2}{1+1}=1$

 

Suy ra 

 

$P\geq \frac{2}{3}.\left ( \frac{1}{1+1} \right )^2=\frac{1}{6}$

 

Đẳng thức xảy ra 

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=1 & \\ z=2 & \end{matrix}\right.$

[tritanngo99]

Bài 166: Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=8$. Tìm GTNN và GTLN của :

$P=\sum (x-y)^5$

Edited by phamngochung9a, 19-06-2016 - 09:03.

[tungteng532000]

Bài 166: Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=8$. Tìm GTNN và GTLN của :

$P=\sum (x-y)^5$

Xét $\left | P \right |=\left | (x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5 \right |$
Giả sử $x\geq y\geq z\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=z+a & \\ y=z+b& \end{matrix}\right.(a\geq b\geq 0)$
Ta có: $8=x^2+y^2+z^2=3z^2+2z(a+b)+a^2+b^2=3(z+\frac{a+b}{3})^2+a^2+b^2-\frac{(a+b)^2}{3}\geq a^2+b^2-\frac{(a+b)^2}{3}\Rightarrow a^2-ab+b^2\leq 12$
Ta có: $\left | P \right |=\left | (a-b)^5+b^5-a^5 \right |=5ab(a-b)(a^2-ab+b^2)\leq 60ab(a-b)$
Đặt $ab=n,a-b=m$, ta có: $m^2+n\leq 12$
$\Rightarrow \left | P \right |\leq 60m(12-m^2)$ với 0<m< căn 12
Đến đây ngon rồi, tìm được Max $\left | P \right |$ suy ra min và max của P

Edited by tungteng532000, 19-06-2016 - 01:07.

[ZOT Murloc]

Bài 166: Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=8$. Tìm GTNN và GTLN của :

$P=\sum (x-y)^5$

Dễ có $xy+yz+xz\leq x^2+y^2+z^2=8$

 

Và $\left ( x+y+z \right )^2\geq 0\Leftrightarrow xy+yz+xz\geq -\frac{x^2+y^2+z^2}{2}=-4$

 

Suy ra $xy+yz+xz \in \left [ -4;8 \right ]$

 

Ta có

 

$P=5\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( z-x \right )\left ( 8-xy-yz-xz \right )$

 

$\Rightarrow \left | P \right |=\left | 5\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( z-x \right )\left ( 8-xy-yz-xz \right ) \right |$

 

Không mất tính TQ, giả sử $x\geq y\geq z$

 

Ta có

 

$\left | P \right |=5\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( x-z \right )\left ( 8-xy-yz-xz \right )$

 

Áp dụng AM-GM ta có

 

$\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\leq \left ( \frac{x-z}{2} \right )^2$

 

Áp dụng C-S ta có

 

$\left ( x-z \right )^2=\left ( x-y+y-z \right )^2\leq 2\left ( x-y \right )^2+2\left ( y-z \right )^2$

 

$\Leftrightarrow \left ( x-z \right )^2\leq \frac{4}{3}\left ( x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz \right )=\frac{4}{3}\left ( 8-xy-yz-xz \right )$

 

Suy ra 

 

$\left | P \right |\leq \frac{5}{4}\left ( \frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{8-xy-yz-xz} \right )^3.\left ( 8-xy-yz-xz \right )\leq 960$

 

$\Leftrightarrow -960\leq P\leq 960$

 

Đẳng thức xảy ra 

 

MinP chẳng hạn $x=2,y=0,z=-2$

 

MaxP chẳng hạn $x=-2,y=0,z=2$

Edited by ZOT Murloc, 19-06-2016 - 01:18.

[tungteng532000]

Trong thời gian chờ đợi xem euro   
Bài 167: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN của:
$P=\frac{(x+y+z-1)^2}{x^2y+y^2z+z^2x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Edited by phamngochung9a, 19-06-2016 - 09:03.

[ZOT Murloc]

Trong thời gian chờ đợi xem euro   
Bài 167: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN của:
$P=\frac{(x+y+z-1)^2}{x^2y+y^2z+z^2x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

 

Ta có

 

$3\left ( x+y+z \right )=\left ( x^2+y^2+z^2 \right )\left ( x+y+z \right )$

 

$=x^2y+y^2z+z^2x+\left ( x^3+xy^2 \right )+\left ( y^3+yz^2 \right )+\left ( z^3+zx^2 \right )\geq 3\left ( x^2y+y^2z+z^2x \right )$

 

Suy ra   

 

$x+y+z\geq x^2y+y^2z+z^2x$

 

Khi đó ta có

 

$P\geq \frac{\left ( x+y+z-1 \right )^2}{x+y+z}+\frac{9}{x+y+z}$

 

Khảo sát hàm số $f(t)=\frac{\left ( t-1 \right )^2+9}{t}$ trên $\left [ \sqrt{3};3 \right ]$ 

 

$MinP=\frac{13}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1$

[tritanngo99]

Bài 168: Cho $a,b,c,d$ là các số thực không âm có tổng bằng 4. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd$

Edited by phamngochung9a, 20-06-2016 - 11:42.

[longatk08]

Bài 169: ( Chuyên Lê Hồng Phong) Cho $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $x+y+z \leq \frac{19}{5}$. Tìm GTLN của:

 

$$P=(1+x^2y^2)\sqrt{1+z^4}-\frac{(x+y+z)^4}{12}$$

Edited by phamngochung9a, 20-06-2016 - 21:06.

[tungteng532000]

Bài 168: Cho $a,b,c,d$ là các số thực không âm có tổng bằng 4. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd$

 Đặt $P=f(a,b,c,d)$
Giả sử $a\geq b\geq c\geq d$
Ta có: $f(a,b,c,d)-f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c,d)=\frac{3(a-b)^2}{2}-(a-b)^2cd=(a-b)^2(\frac{3}{2}-cd)$
Lại có $cd\leq \sqrt{abcd}\leq 1\Rightarrow f(a,b,c,d)\geq f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c,d)$
Đặt $\frac{c+d}{2}=x,cd=y$, ta có: 
$P\geq 3(\frac{(4-2x)^2}{2}+4x^2-2y)+y(4-2x)^2=2y(2x^2-8x+5)+6(3x^2-4x+4)$
Th1: $(2x^2-8x+5)\geq 0$, ta có:
$2y(2x^2-8x+5)+6(3x^2-4x+4)\geq 6(3x^2-4x+4)=2(3x-2)^2+16\geq 16$
Th2: $(2x^2-8x+5)<0$, ta có:
$2y(2x^2-8x+5)+6(3x^2-4x+4)\geq 2x^2(2x^2-8x+5)+6(3x^2-4x+4)=4(x-1)^2(x^2-2x+2)+16\geq 16$
MinP=16 đạt được tại $a=b=c=d=1$ hoặc $(a,b,c,d)=(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{4}{3},0)$ và các hoán vị.

 

[tuanyeubeo2000]

Lâu rồi mới lên

Bài 170 : $ Cho\quad 0\le a,b,c\le 1\quad và\quad a+b+c=2.\quad CMR:\\ P={ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }+{ c }^{ 3 }+4abc\le \frac { 9 }{ 4 } $

Edited by phamngochung9a, 20-06-2016 - 21:06.

[nguyenhongsonk612]

Lâu rồi mới lên

Bài 170 : $ Cho\quad 0\le a,b,c\le 1\quad và\quad a+b+c=2.\quad CMR:\\ P={ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }+{ c }^{ 3 }+4abc\le \frac { 9 }{ 4 } $

Giải:

BĐT $\Leftrightarrow a^3+(b+c)^3-3bc(b+c)+4abc\leqslant \frac{9}{4}$

       $\Leftrightarrow (7a-6)bc+6a^2-12a+\frac{23}{4}\leqslant 0$

Đặt $f(bc)=(7a-6)bc+6a^2-12a+\frac{23}{4}$

Có $(1-b)(1-c)\geqslant 0\Leftrightarrow bc\geqslant 1-a$

$\Rightarrow 1-a\leqslant bc\leqslant 1$

Nếu $a=\frac{6}{7}$ thì $f(bc)<0$ 

Nếu $a> \frac{6}{7}$ thì $f(bc)$ đồng biến $\Rightarrow f(bc)\leqslant f(1)< 0$

Nếu $a< \frac{6}{7}$ thì $f(bc)$ nghịch biến $\Rightarrow f(bc)\leqslant f(1-a)=-\begin{pmatrix} a-\frac{1}{2} \end{pmatrix}^2\leq 0$

Tóm lại, ta đều có $f(bc) \leqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi trong $3$ số $a,b,c$ có một số bằng $1$, hai số bằng $\frac{1}{2}$

Edited by nguyenhongsonk612, 21-06-2016 - 10:12.

[tuanyeubeo2000]

Lâu rồi mới lên

Bài 170 : $ Cho\quad 0\le a,b,c\le 1\quad và\quad a+b+c=2.\quad CMR:\\ P={ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }+{ c }^{ 3 }+4abc\le \frac { 9 }{ 4 } $

$ từ\quad giả\quad thiết\quad ->\quad 2-2a\ge 0\quad ->b+c-a\ge 0\quad .\quad tương\quad tự\quad ta\quad cũng\quad có\quad a+b-c\ge 0\quad và\quad a+c-b\ge 0\\ Đặt\quad a+b-c=2x\quad ;\quad b+c-a=2y;\quad c+a-b=2z->\quad a=x+y;\quad b=y+z;\quad c=z+x->x+y+z=1\\ bđt\quad đã\quad cho\quad <=>4\sum { { (x+y) }^{ 3 } } +16\prod { (x+y) } \le 9{ (x+y+z) }^{ 3 }\\ <=>\sum { { x }^{ 3 }+22xyz\ge  } \sum { xy(x+y) }( schur) $

P/s : ai cho xin cách ép biên

[phamngochung9a]

Bài 169: ( Chuyên Lê Hồng Phong) Cho $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $x+y+z \leq \frac{19}{5}$. Tìm GTLN của:

 

$$P=(1+x^2y^2)\sqrt{1+z^4}-\frac{(x+y+z)^4}{12}$$

 

Số $\frac{19}{5}$ cố tình đưa ra nhằm làm cho ta sai lầm trong việc lựa chọn dấu bằng

 

Ta có:

 

$P=\sqrt{1+z^{4}}-\frac{1}{12}z^{4}+x^{2}y^{2}\sqrt{1+z^{4}}-\frac{\left ( x+y \right )^{4}}{12}-\frac{1}{3}\left ( x+y \right )^{3}z-\frac{1}{2}\left ( x+y \right )^{2}z^{2}-\frac{1}{3}\left ( x+y \right )z^{3}$

 

Ta sẽ chứng minh

 

$x^{2}y^{2}\sqrt{1+z^{4}}-\frac{\left ( x+y \right )^{4}}{12}-\frac{1}{3}\left ( x+y \right )^{3}z-\frac{1}{2}\left ( x+y \right )^{2}z^{2}-\frac{1}{3}\left ( x+y \right )z^{3}\leq 0$

 

Thật vậy:

 

$x^{2}y^{2}\sqrt{1+z^{4}}-\frac{\left ( x+y \right )^{4}}{12}-\frac{1}{3}\left ( x+y \right )^{3}z-\frac{1}{2}\left ( x+y \right )^{2}z^{2}-\frac{1}{3}\left ( x+y \right )z^{3}\\\leq \frac{\left ( x+y \right )^{4}}{16}\left ( z^{2}+1 \right )-\frac{\left ( x+y \right )^{4}}{12}-\frac{7}{6}\left ( x+y \right )^{2}z^{2}\\=\frac{1}{4}\left ( x+y \right )^{2}\left [ \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}\left ( z^{2}+1 \right )-\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{3}-\frac{14}{3}z^{2} \right ]\\=\frac{1}{4}\left ( x+y \right )^{2}\left [ \frac{-1}{12} \left ( x+y \right )^{2}+\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}.z^{2}-\frac{14}{3}z^{2}\right ]\\\leq \frac{1}{4}\left ( x+y \right )^{2}.z^{2}\left [\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}-\frac{14}{3} \right ]$

 

Từ giả thiết : $x+y+z\leq \frac{19}{5}< 4\Rightarrow x+y< 4$

 

Vậy:

 

$\frac{1}{4}\left ( x+y \right )^{2}.z^{2}\left [\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}-\frac{14}{3} \right ]\\\leq \frac{1}{4}\left ( x+y \right )^{2}z^{2}.\left ( \frac{4^{2}}{4}-\frac{14}{3} \right )\leq 0$

 

Từ đó :

 

$P\leq \sqrt{1+z^{4}}-\frac{z^{4}}{12}$

 

Đặt $t=\sqrt{z^{4}+1}$

 

Ta có:

 

$P\leq t-\frac{t^{2}-1}{12}=-\frac{1}{12}t^{2}+t+\frac{1}{12}\leq \frac{-\bigtriangleup _{t}}{4.\left ( -\frac{1}{12} \right )}=\frac{37}{12}$

 

Vậy :

 

$\max P=\frac{37}{12}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=0 & \\ z=\sqrt[4]{35} & \end{matrix}\right.$

Edited by phamngochung9a, 20-06-2016 - 21:43.

[ducbau007]

bác nào nàm hộ e câu 10 với     

Bài 171'

Attached Images

• 

Edited by Dinh Xuan Hung, 23-06-2016 - 16:32.

[tungteng532000]

Bài 171: (chuyên thái bình) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:
$P=a+b+c+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

[tungteng532000]

bác nào nàm hộ e câu 10 với     

Thanks bác  . Mà bác đăng bài thì đánh STT vào ko bị xóa đó 

Attached Images

• 

[ducbau007]

bạn có cả file đáp án o cho mình xin, tks

[ZOT Murloc]

Bài 171: (chuyên thái bình) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:
$P=a+b+c+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 Biến đổi đẳng thức ta có

 

$P=b\left ( 1+\frac{a}{b+c} \right )+c\left ( 1+\frac{b}{a+c} \right )+a\left ( 1+\frac{c}{a+b} \right )$

 

$=\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \right )$

 

Theo BĐT C-S ta có

 

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}=\frac{\left ( a+b+c \right )^2}{\left ( a+b+c \right )^2-1}$

 

Suy ra

 

$P\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^3}{\left ( a+b+c \right )^2-1}$

 

Theo BĐT cơ bản ta có 

 

$a+b+c\geq \sqrt{3\left ( ab+bc+ca \right )}=\sqrt{3}$

 

Việc còn lại là khảo sát HS or biến đổi tương đương với ẩn a+b+c trên miền $\left [ \sqrt{3},+\infty \right ]$