Chủ đề này có 383 trả lời

[tuanyeubeo2000]

 

 

Đặt a=x+y, b=y+z, c=z+x suy ra a+b+c=2.
Ta có: $P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$
Th1: abc=0 giả sử là a=0.
$P=\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}}\geq 2$
Đẳng thức xảy ra khi (a,b,c)=(0,1,1) và các hoán vị hay (x,y,z)=(0,0,1) và các hoán vị.
Th2: abc khác 0.
$P=\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq 2\sum \frac{a}{a+b+c}=2$ (dấu = ko xảy ra)
Mình nghĩ là bài này ko có max.

Bài này min =2, không có dấu bằng  nhưng cậu xét TH 1 abc=0 thì sao lại có dấu bằng tại 2 số đồng thời bằng không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanyeubeo2000: 05-06-2016 - 16:09

[tien123456789]

Đặt a=x+y, b=y+z, c=z+x suy ra a+b+c=2.
Ta có: $P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$
Th1: abc=0 giả sử là a=0.
$P=\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}}\geq 2$
Đẳng thức xảy ra khi (a,b,c)=(0,1,1) và các hoán vị hay (x,y,z)=(0,0,1) và các hoán vị.
Th2: abc khác 0.
$P=\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq 2\sum \frac{a}{a+b+c}=2$ (dấu = ko xảy ra)
Mình nghĩ là bài này ko có max.

 ta có thể sử dụng bđt sau $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\geq 1-x$ 

[tuanyeubeo2000]

$ giả\quad thiết\quad <=>{ (x+y) }^{ 2 }-8z(x+y)+{ 12z }^{ 2 }\le 0<=>2z\le x+y\le 6z\\ Ta\quad có\quad :y{ (x+z) }^{ 2 }=\frac { 27.2y.(x+z)(x+z) }{ 54 } \le \frac { { (2x+2y+2z) }^{ 3 } }{ 54 } =\frac { 4{ (x+y+z) }^{ 3 } }{ 27 } và\\ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \ge \frac { x+y }{ \sqrt { 2 }  } ;\quad { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }\ge \frac { { (x+y) }^{ 3 } }{ 4 } .\quad Nên\quad ta\quad có\quad :\\ P\ge \frac { 27{ x }^{ 3 }+27{ y }^{ 3 } }{ 4{ (x+y+z) }^{ 3 } } +\frac { x+y }{ z\sqrt { 2 }  } \ge \frac { 27{ (x+y) }^{ 3 } }{ 16{ (x+y+\frac { x+y }{ 2 } ) }^{ 3 } } \ge \frac { 27.8{ .z }^{ 3 } }{ 54{ (x+y) }^{ 3 } } =\frac { 4{ z }^{ 3 } }{ { (x+y) }^{ 3 } } .\\ Đặt\quad \frac { x+y }{ z } =t(t\ge 2)->P\ge \frac { 4 }{ { t }^{ 3 } } +\frac { t }{ \sqrt { 2 }  }  $

$ giả\quad thiết\quad <=>{ (x+y) }^{ 2 }-8z(x+y)+{ 12z }^{ 2 }\le 0<=>2z\le x+y\le 6z\\ Ta\quad có\quad :\frac { { x }^{ 3 } }{ y{ (x+z) }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 3 } }{ x{ (y+z) }^{ 2 } } \overset { C-S }{ \ge  } \frac { { ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }^{ 2 } }{ xy\left[ { (x+z) }^{ 2 }+{ (y+z) }^{ 2 } \right]  } \ge \frac { 2({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2z(x+y)+{ 2z }^{ 2 } } \ge \frac { 2({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }{ 4({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) } =\frac { 1 }{ 2 } \\ Lại\quad có\quad :\quad \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }  }{ z } \ge \sqrt { 2 } ->P\ge \frac { 1 }{ 2 } +\sqrt { 2 }  $ 

p/s sửa lại

[tungteng532000]

Bài này min =2, không có dấu bằng  nhưng cậu xét TH 1 abc=0 thì sao lại có dấu bằng tại 2 số đồng thời bằng không ?

Có một số = 0 thôi mà, với biến a,b,c

[longatk08]

Biến đổi p,q,r ta có: $2q=p^2-3$
Bđt Schur: $9r\geq p(4q-p^2)=p(p^2-6)$
Do đó $P\leq \frac{7}{2}(p^2-3)-p(p^2-6)\leq 12\Leftrightarrow (-\frac{5}{2}-p)(p-3)^2\leq 0$ (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
MaxP=12.

Bài này nhẹ nhàng thôi, không cần thiết phải lôi BĐT Schur vào làm gì, với kiến thức thi đại trà thì không phù hợp.

 

Ở đây ta làm như sau:

 

Giả sử $a=max${$a,b,c$} thì ta có: $1\leq a\leq\sqrt{3}$.

 

Viết lại BĐT cần chứng minh dưới dạng $f(a)=a(9bc-7b-7c)+11-bc \geq 0$

 

Dễ thấy $f(a)$ là hàm đơn điệu nên ta chỉ cần chứng minh:

 

$f(1) \geq 0$ và $f(\sqrt{3}) \geq 0.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 06-06-2016 - 16:47

[tuanyeubeo2000]

Thấy pic yên ắng quá .

Bài 140 : $ Cho\quad a,b,c\ge 0\quad thõa\quad mãn\quad a+b+c=3\quad .\quad CMR:\\ \sum { \frac { 2 }{ { a }^{ 2 } }  } +\sum { \frac { 1 }{ { a }^{ 2 }-ab+{ b }^{ 2 } }  } \ge 9 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 10-06-2016 - 11:23

[hoangson2598]

Bài 141:

Cho $0\leq a\leq b\leq 1\leq c$ và  $2b^2+c^2+4(2a+b+c)=18$

Tìm max $P=ab^2+bc^2+ca^2-\frac{13}{2a-5b+6(\sqrt{b}+\sqrt[3]{4bc})}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 10-06-2016 - 11:23

[tungteng532000]

Thấy pic yên ắng quá . Bài 140 : $ Cho\quad a,b,c\ge 0\quad thõa\quad mãn\quad a+b+c=3\quad .\quad CMR:\\ \sum { \frac { 2 }{ { a }^{ 2 } }  } +\sum { \frac { 1 }{ { a }^{ 2 }-ab+{ b }^{ 2 } }  } \ge 9 $

Áp dụng bđt AM-Gm, ta có:
$2(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geq 2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta được:
$\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{4}{2ab}\geq \frac{(1+2)^2}{a^2+ab+b^2}=\frac{9(ab+bc+ca)}{(a^2+ab+b^2)(ab+bc+ca)}\geq \frac{36(ab+bc+ca)}{(a+b)^2(a+b+c)^2}=\frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b)^2}$
Tương tự, ta có: $\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{2}{bc}\geq \frac{4(ab+bc+ca)}{(b+c)^2} $
$\frac{1}{c^2-ca+a^2}+\frac{2}{ca}\geq \frac{4(ab+bc+ca)}{(c+a)^2}$
Bđt cần chứng minh cuối cùng chính là bđt Iran: $\sum \frac{1}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4(ab+bc+ca)}$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.

[tungteng532000]

Bài 141:

Cho $0\leq a\leq b\leq 1\leq c$ và  $2b^2+c^2+4(2a+b+c)=18$

Tìm max $P=ab^2+bc^2+ca^2-\frac{13}{2a-5b+6(\sqrt{b}+\sqrt[3]{4bc})}$

Ta có: $18=2b^2+c^2+4(2a+b+c)\geq 4b-2+4c-4+4(2a+b+c)\Rightarrow a+b+c\leq 3$
Đặt a+b+c=t thì $t\leq 3$

 

Áp dụng bđt AM-GM, ta có:
$b+1\geq 2\sqrt{b},2b+c+2\geq 3\sqrt[3]{4bc}$
Do đó $\frac{13}{2a-5b+6(\sqrt{b}+\sqrt[3]{4bc})}\geq \frac{13}{2(a+b+c)+7}=\frac{13}{2t+7}$
Ta có: $a(a-b)(c-b)\leq 0\Leftrightarrow ab^2+ca^2\leq abc+a^2b \Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq b(c^2+ca+a^2)\leq b(c+a)^2=4b.\frac{(c+a)}{2}.\frac{(c+a)}{2}\leq \frac{4(a+b+c)^3}{27}=\frac{4t^3}{27}$
Do đó $P\leq \frac{4t^3}{27}-\frac{13}{2t+7}$ với $t\leq 3$
Xét nốt hàm là ok.
Đẳng thức xảy ra khi a=0,b=1,c=2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 08-06-2016 - 08:22

[tien123456789]

Bài 142: Cho các số thực a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1.Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\sqrt[3]{\left(\frac{1}{ab}-1 \right)\left(\frac{1}{bc}-1 \right)\left(\frac{1}{ca}-1\right)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 10-06-2016 - 11:25

[tungteng532000]

Bài 142:Cho các số thực a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1.Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\sqrt[3]{(\frac{1}{ab}-1)(\frac{1}{bc}-1)(\frac{1}{ca}-1)}$

Quy đồng cho lẹ   
$(\frac{1}{ab}-1)(\frac{1}{bc}-1)(\frac{1}{ca}-1)\geq 512\Leftrightarrow 1-\sum ab+abc-513a^2b^2c^2\geq 1-\frac{1}{3}+abc(1-27abc)-486a^2b^2c^2\geq 1-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\geq 0$ (đúng)
$\Rightarrow P\geq 8$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[tungteng532000]

Lâu lắm mình không đăng bài   
Bài 143. Cho các số x,y,z không âm thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm GTNN và GTLN của:
$P=x(y-z)^3+y(z-x)^3+z(x-y)^3$

[tien123456789]

Bài144: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.Tim min:

$P=4xy+4yz+10xz+\frac{1}{(x+z)(x+y+z)+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 10-06-2016 - 11:22

[tien123456789]

Lâu lắm mình không đăng bài   
Bài 143. Cho các số x,y,z không âm thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm GTNN và GTLN của:
$P=x(y-z)^3+y(z-x)^3+z(x-y)^3$

 sau khi biến đổi ta có $P=(x-z)(y-z)(y-x)$.Giả sử $y\geq x\geq z$

khi đó $\left | P \right |\leq xy(y-x)\leq x(1-x)(1-2x)$ đến đây xét hàm là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 09-06-2016 - 20:14

[tritanngo99]

Bài 145: Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn: $xyz+x+y=z$. Tìm giá trị lớn nhất của:

$P=\frac{2}{x^2+1}+\frac{3}{y^2+1}-\frac{2}{z^2+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 10-06-2016 - 11:22

[tungteng532000]

Bài 145: Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn: $xyz+x+y=z$. Tìm giá trị lớn nhất của:

$P=\frac{2}{x^2+1}+\frac{3}{y^2+1}-\frac{2}{z^2+1}$

Giả thiết $\Leftrightarrow xy+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}=1$
Nên tồn tại A,B,C là 3 góc của 1 tam giác sao cho $x=tan\frac{A}{2},y=tan\frac{B}{2},\frac{1}{z}=tan\frac{C}{2}$
Ta có: $P=2cos^2\frac{A}{2}+3cos^2\frac{B}{2}-2sin^2\frac{C}{2}=cosA+1+cosC-1+3cos^2\frac{B}{2}=2cos\frac{A-C}{2}cos\frac{A+C}{2}+3(1-sin^2\frac{B}{2})\leq -3sin^2\frac{B}{2}+2sin\frac{B}{2}+3=-3(sin\frac{B}{2}-\frac{1}{3})^2+\frac{10}{3}\leq \frac{10}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} xy+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}=1 & & \\ x=\frac{1}{z}& & \\ y=tan\frac{B}{2}=\frac{sin\frac{B}{2}}{\sqrt{1-sin^2\frac{B}{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{4}& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{\sqrt{2}}{2} & & \\ y=\frac{\sqrt{2}}{4}& & \\ z=\sqrt{2}& & \end{matrix}\right.$

[tuanyeubeo2000]

Gần tương tự nè . Bài 146 : $ Cho\quad a,b,c\ge 0\quad thõa\quad mãn\quad a+b+c=3\quad .\quad CMR:\\ \sum { \frac { 2 }{ { a }^{ 3 } }  } +\sum { \frac { 1 }{ { a }^{ 2 }-ab+{ b }^{ 2 } }  } \ge 9 $

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanyeubeo2000: 08-06-2016 - 14:15

[tuanyeubeo2000]

Bài144: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.Tim min:

$P=4xy+4yz+10xz+\frac{1}{(x+z)(x+y+z)+1}$

có min thật à 

[tungteng532000]

Cho\quad a,b,c\ge 0\quad thõa\quad mãn\quad a+b+c=3\quad .\quad CMR:\\ \sum { \frac { 2 }{ { a }^{ 3 } }  } +\sum { \frac { 1 }{ { a }^{ 2 }-ab+{ b }^{ 2 } }  } \ge 9

Lỏng hơn bài 140 mà bác 

[phamngochung9a]

có min thật à 

 

Bài144: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.Tim min:

$P=4xy+4yz+10xz+\frac{1}{(x+z)(x+y+z)+1}$

Có lẽ đề là cho các số thực không âm $x,y,z$.

Ta có:

$P=2\left ( x+y+z \right )^{2}+6zx-2+\frac{1}{\left ( x+z \right )\left ( x+y+z \right )+1}\\\geq 2\left ( x+y+z \right )^{2}+\frac{1}{\left ( x+y+z \right )^{2}+1}-2$

Từ đề bài, ta có: $\left ( x+y+z \right )^{2}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\\\Rightarrow x+y+z\geq 1$

Đặt $a+b+c=t$

Khi đó: $P\geq 2t^{2}+\frac{1}{t^{2}+1}-2$

 

Khảo sát hàm số trên với $t\in \left [ 1;\sqrt{3} \right ]$, ta được:

$\min P=\frac{1}{2}$