Chủ đề này có 383 trả lời

[phamngochung9a]

Bài144: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.Tim min:

$P=4xy+4yz+10xz+\frac{1}{(x+z)(x+y+z)+1}$

Thực cũng ăn ngon 

 

Ta có:

$P=2\left ( x+y+z \right )^{2}+3\left ( z+x \right )^{2}+\frac{1}{\left ( x+z \right )\left ( x+y+z \right )+1}+3y^{2}-5\\\geq 2\left ( x+y+z \right )^{2}+3\left ( x+z \right )^{2}++\frac{1}{\left ( x+z \right )\left ( x+y+z \right )+1}-5$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} x+y+z=a & \\ y+z=b & \end{matrix}\right.$

 

Khi đó: $P\geq 2a^{2}+3b^{2}+\frac{1}{ab+1}-5$

 

Ta sẽ chứng minh $ab+1> 0$. Thật vậy:

$ab+1=\left ( x+z \right )\left ( x+y+z \right )+x^{2}+y^{2}+z^{2}\\=\left ( x+z \right )^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz\\\geq \frac{1}{2}\left ( x+z \right )^{2}+y\left ( x+z \right )+\frac{1}{2}y^{2}+\frac{1}{2}y^{2}\\=\frac{1}{2}\left ( x+y+z \right )^{2}+\frac{1}{2}y^{2}\geq 0$

 

Dấu "=" không xảy ra, ta có $ab+1> 0$

 

Vậy: $P\geq 2\sqrt{6}\left | ab \right |+\frac{1}{\left | ab \right |+1}-5\\\geq \left ( \left | ab \right |+1 \right )+\frac{1}{\left | ab \right |+1}-6\\\geq -4$

 

Vậy $\min P=-4\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-z=-\frac{1}{\sqrt{2}} & \\ y=0 & \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} x=-z=\frac{1}{\sqrt{2}} & \\ y=0 & \end{matrix}\right.$

[tien123456789]

Bài144: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.Tim min:

$P=4xy+4yz+10xz+\frac{1}{(x+z)(x+y+z)+1}$

cách khác nè ta có

$\frac{1}{(x+z)(x+y+z)+1}\geq \frac{1}{\frac{(2x+y+2z)^{2}}{4}+1}$

$4xy+4yz+10xz= (2x+y+2z)^{2}+2xz-(4x^{2}+y^{2}+4z^{2})= (2x+y+2z)^{2}+(x+z)^{2}-(5x^{2}+y^{2}+5z^{2})= (2x+y+2z)^{2}+(x+z)^{2}+\frac{y^{2}}{4}-(5x^{2}+\frac{5y^{2}}{4}+5z^{2})\geq (2x+y+2z)^{2}+\frac{(x+\frac{y}{2}+z)^{2}}{2}-5(x^{2}+y^{2}+z^{2})= \frac{9}{8}(2x+y+2z)^{2}-5$

nên $P\geq \frac{9}{8}(2x+y+2z)^{2}-5+\frac{1}{\frac{(2x+y+2z)^{2}}{4}+1}$

đặt t=2x+y+2z ta có

$P\geq (\frac{9}{8}t^{2}+\frac{4}{t^{2}+4}-1)-4= t^{2}(\frac{9t^{2}+28}{t^{2}+4})-4\geq -4$

dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{1}{\sqrt{2}},y=0,z=\frac{-1}{\sqrt{2}}$ hoặc $x=\frac{-1}{\sqrt{2}},y=0,z=\frac{1}{\sqrt{2}}$

[phamngochung9a]

Bài 147: Cho các không âm $a,b,c$ thỏa mãn $c=\min \left \{ a,b,c \right \}$.

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$$P=\left ( a-b \right )^{2}\left [ \frac{\left ( 2a+c \right )^{2}}{\left ( b^{2}+c^{2} \right )^{2}}+\frac{\left ( 2b+c \right )^{2}}{\left ( a^{2}+c^{2} \right )}-\frac{64}{ab+bc+ca} \right ]$$

 

Bài 148: Cho các số thực dương thay đổi $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \left ( a+b+c \right )\sqrt{ab+bc+ca}$

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$$P=a\left ( a-2b+2 \right )+b\left ( b-2c+2 \right )+c\left ( c-2a+2 \right )+\frac{1}{abc}$$

 

Bài 149: Cho các số thực dương $x,y,z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$$P=\frac{x}{x+2z}+\frac{y}{y+2z}+\frac{2\left ( z^{2}-xy \right )}{\left ( x+y+z \right )^{2}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 10-06-2016 - 11:22

[tungteng532000]

Bài 147: Cho các không âm $a,b,c$ thỏa mãn $c=\min \left \{ a,b,c \right \}$.

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$$P=\left ( a-b \right )^{2}\left [ \frac{\left ( 2a+c \right )^{2}}{\left ( b^{2}+c^{2} \right )^{2}}+\frac{\left ( 2b+c \right )^{2}}{\left ( a^{2}+c^{2} \right )}-\frac{64}{ab+bc+ca} \right ]$$

 

 

Đặt $x=a+\frac{c}{2},y=b+\frac{c}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+c^2\leq x^2 & & \\ b^2+c^2\leq y^2& & \\ ab+bc+ca=(a+\frac{c}{2})(b+\frac{c}{2})+\frac{c(2a+2b-c)}{4}\geq xy& & \end{matrix}\right.$
Do đó $P\geq 4(x-y)^2(\frac{x^2}{y^4}+\frac{y^2}{x^4}-\frac{16}{xy})$
Đặt $t=\frac{x^2+y^2}{xy}\geq 2$, ta có:
$P\geq 4(t-2)(t^3-3t-16)$
Xét hàm nốt là ok.

[tungteng532000]

 

Bài 148: Cho các số thực dương thay đổi $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \left ( a+b+c \right )\sqrt{ab+bc+ca}$

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$$P=a\left ( a-2b+2 \right )+b\left ( b-2c+2 \right )+c\left ( c-2a+2 \right )+\frac{1}{abc}$$

 

 

Giả sử $a=min\left \{ a,b,c \right \}$
Giả thiết tương đương với $(a+b+c)^2-(a+b+c)\sqrt{ab+bc+ca}-2(ab+bc+ca)\geq 0\Leftrightarrow a+b+c\geq 2\sqrt{ab+bc+ca}\Leftrightarrow (b+c-a)^2\geq 4bc\Leftrightarrow b+c-a\geq 2\sqrt{bc}$
Ta có: $P=\sum a^2-2\sum ab+2(a+b+c)+\frac{1}{abc}\geq 2(b+c-a)+4a+\frac{1}{abc}\geq 2\sqrt{bc}+2\sqrt{bc}+4a+\frac{1}{abc}\geq 8$
 

[tien123456789]

tạm thời là như vậy đi

Bài 150:Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a\geq 7$max{b,c};a+b+c=1

Tìm GTNN của biểu thức P=$a(b-c)^{5}+b(c-a)^{5}+c(a-b)^{5}$

Bài 151:Cho các số thực x,y,z không âm và không có 2 số nào đồng thời bằng không.Tìm GTNN của biểu thức

$P=(xy+yz+xz)(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}})$

Bài 152:Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^{2}+z^{2}\leq 2$.Tìm GTNN của biểu thức

P=$\frac{x^{2}+y^{2}}{z^{2}+xy}+\frac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}+yz}-\frac{40}{3}\sqrt{\frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}+4}$

Bài 153:Cho a,b,c$\geq 0$ và a+b+c=2.Tìm GTLN của biểu thức

P=$\sqrt{a^{2}+a+3}+\sqrt{b^{2}+b+3}+\sqrt{c^{2}+c+3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tien123456789: 12-06-2016 - 00:02

[tungteng532000]

 

Bài 151:Cho các số thực x,y,z không âm và không có 2 số nào đồng thời bằng không.Tìm GTNN của biểu thức

$P=(xy+yz+xz)(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}})$

Giả sử $z=min\left \{ x,y,z \right \}$
Đặt $a=x+\frac{z}{2},b=y+\frac{z}{2}$, ta có:
$xy+yz+zx=(x+\frac{z}{2})(y+\frac{z}{2})+\frac{z(2x+2y-z)}{4}\geq ab$
$x^2+y^2\leq a^2+b^2$
$x^2+z^2\leq a^2$
$y^2+z^2\leq b^2$
Do đó $P\geq ab(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})=ab(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{4a^2b^2})+\frac{3(a^2+b^2))}{4ab}\geq ab.\frac{1}{ab}+\frac{3.2ab}{4ab}=\frac{5}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi 2 số = nhau, 1 số = 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 12-06-2016 - 14:53

[tungteng532000]

 

Bài 153:Cho a,b,c$\geq 0$ và a+b+c=2.Tìm GTLN của biểu thức

P=$\sqrt{a^{2}+a+3}+\sqrt{b^{2}+b+3}+\sqrt{c^{2}+c+3}$

Ta chứng minh bđt sau:
$\sqrt{x^2+x+3}\leq \frac{(3-\sqrt{3})x}{2}+\sqrt{3}$ với $x\epsilon [0,2]$
$\Leftrightarrow \frac{x(x-2)(x+1)}{2(\sqrt{x^2+x+3}+\sqrt{3})(2x+5-3\sqrt{3}+(3-\sqrt{3})\sqrt{x^2+x+3}}\leq 0$ (đúng)
Thiết lập các bđt tương tự với a,b,c ta có:
$P\leq 3+2\sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(2,0,0)$ và các hoán vị.

[tuanyeubeo2000]

 

Bài 152:Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^{2}+z^{2}\leq 2$.Tìm GTNN của biểu thức

P=$\frac{x^{2}+y^{2}}{z^{2}+xy}+\frac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}+yz}-\frac{40}{3}\sqrt{\frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}+4}$

 

$ Ta\quad có:\quad 2({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+1)\ge 3({ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 })+2{ y }^{ 2 }\ge { 2(x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+xy+yz)\\ Lại\quad có:\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ { z }^{ 2 }+xy } +\frac { { y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+yz } \ge \frac { { (x+z) }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+xy+yz } +\frac { { 2y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+xy+yz } \\ =\frac { { (x+z) }^{ 2 }+{ 2y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+xy+yz } \ge \frac { 2{ (x+y+z) }^{ 2 } }{ 3({ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+xy+yz) } .Nên\quad :\\ P\ge \frac { 2{ (x+y+z) }^{ 2 } }{ 3({ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+xy+yz) } -\frac { 40 }{ 3 } \sqrt { \frac { { (x+y+z) }^{ 2 } }{ ({ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+xy+yz) } +4 } (Đặt\quad t=\frac { { (x+y+z) }^{ 2 } }{ ({ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+xy+yz) } )\\ Khảo\quad sát\quad hàm\quad nữa $

[tuanyeubeo2000]

Bài 154: $ Cho:\quad x,y,z>0\quad thõa\quad mãn\quad :\quad \sum { { x }^{ 2 } } =3\quad .Tìm\quad GTNN:\\ P=\frac { 16 }{ \sqrt { (\sum { { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } } )+1 }  } +\frac { xy+yz+zx+1 }{ x+y+z } $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 13-06-2016 - 20:32

[tuanyeubeo2000]

 

 

Bài 149: Cho các số thực dương $x,y,z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$$P=\frac{x}{x+2z}+\frac{y}{y+2z}+\frac{2\left ( z^{2}-xy \right )}{\left ( x+y+z \right )^{2}}$$

$ \frac { x }{ x+2z } +\frac { y }{ y+2z } \ge \frac { { (x+y) }^{ 2 } }{ { (x+y) }^{ 2 }+2z(x+y)+{ z }^{ 2 }-({ z }^{ 2 }+2xy) } =\frac { { (x+y) }^{ 2 } }{ { (x+y+z) }^{ 2 }+{ 2(z }^{ 2 }-xy)-3{ z }^{ 2 } } \\ =\frac { 1 }{ { (1+\frac { z }{ x+y } ) }^{ 2 }+\frac { 2({ z }^{ 2 }-xy) }{ { (x+y) }^{ 2 } } -3{ \left( \frac { z }{ x+y }  \right)  }^{ 2 } } .Nên\\ P\ge \frac { 1 }{ { (1+\frac { z }{ x+y } ) }^{ 2 }+\frac { 2({ z }^{ 2 }-xy) }{ { (x+y) }^{ 2 } } -3{ \left( \frac { z }{ x+y }  \right)  }^{ 2 } } +\frac { \frac { 2{ (z }^{ 2 }-xy) }{ { (x+y) }^{ 2 } }  }{ { (1+\frac { z }{ x+y } ) }^{ 2 } } .\quad Đặt\quad A=\frac { z }{ x+y } ;\quad B=\frac { 2{ (z }^{ 2 }-xy) }{ { (x+y) }^{ 2 } } \\ Ta\quad có\quad :\quad B\ge 2{ \left( \frac { z }{ x+y }  \right)  }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } \ge \frac { 2z }{ x+y } -1=2A-1->B+1\ge 2A.\quad Viết\quad lại\quad :\\ P\le \frac { 1 }{ { (A+1) }^{ 2 }+B-3{ A }^{ 2 } } +\frac { B }{ { (A+1) }^{ 2 } } $

-> Hướng này chắc sai , các bác xem qua cho em cái nhé , em làm vội

[tien123456789]

Bài 154: $ Cho:\quad x,y,z>0\quad thõa\quad mãn\quad :\quad \sum { { x }^{ 2 } } =3\quad .Tìm\quad GTNN:\\ P=\frac { 16 }{ \sqrt { (\sum { { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } } )+1 }  } +\frac { xy+yz+zx+1 }{ x+y+z } $

ta chú ý đến bổ đề sau: với x,y,z là các số thực dương  thỏa mãn x+y+z=3 thì ta có $xy+yz+zx\leq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

Chứng minh: ta có

$x^{2}+\sqrt{x}+\sqrt{x}\geq 3x$ 

tương tự các biến còn lại ta có

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z}\geq 3(x+y+z)=(x+y+z)^{2}= x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+zx$

Quay trở lại bài toán ta sẽ có

$P\geq \frac{16}{\sqrt{x+y+z+1}}+\frac{\frac{(x+y+z)^{2}-3}{2}+1}{x+y+z}= \frac{16}{\sqrt{x+y+z+1}}+\frac{(x+y+z)^{2}-1}{2(x+y+z)}$

Đến đây đặt t=x+y+z với t$\in (0;3]$ sau đó xét hàm là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tien123456789: 12-06-2016 - 21:52

[tuanyeubeo2000]

ta chú ý đến bổ đề sau: với x,y,z là các số thực dương  thỏa mãn x+y+z=3 thì ta có $xy+yz+zx\leq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

Chứng minh: ta có

$x^{2}+\sqrt{x}+\sqrt{x}\geq 3x$ 

tương tự các biến còn lại ta có

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z}\geq 3(x+y+z)=(x+y+z)^{2}= x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+zx$

Quay trở lại bài toán ta sẽ có

$P\geq \frac{16}{\sqrt{x+y+z+1}}+\frac{\frac{(x+y+z)^{2}-3}{2}+1}{x+y+z}= \frac{16}{\sqrt{x+y+z+1}}+\frac{(x+y+z)^{2}-1}{2(x+y+z)}$

Đến đây đặt t=x+y+z với t$\in (0;3]$ sau đó xét hàm là xong

bổ đề hay vậy mà tớ quên hihi

[tuanyeubeo2000]

Bài 155:  $ Cho\quad x,y,z>0\quad thõa\quad mãn\quad :\quad { x }^{ 2 }+{ 8y }^{ 2 }+{ 8z }^{ 2 }=20.\quad Tìm\quad GTLN:\\ P=\frac { { 2x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }(4-yz)+8 } +\frac { y+z }{ x+y+z+1 } -\frac { { x }^{ 2 }+{ (y+z) }^{ 2 } }{ 100 }  $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 13-06-2016 - 22:09

[hoangson2598]

Bài 156

Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn:  $\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+z^2}=5$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=x^3+y^3+2z^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 13-06-2016 - 20:32

[tungteng532000]

Bài 156

Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn:  $\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+z^2}=5$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=x^3+y^3+2z^3$

Nó đây bạn   
http://diendantoanho...t-phụ/?p=638481

[tungteng532000]

Bài 157: Cho x,y,z thỏa mãn $0\leq z\leq y\leq x\leq 1$. Tìm max của:
$P=(x^2-y^2)(y-z)+z^2(1-z)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 13-06-2016 - 20:31

[tuanyeubeo2000]

Bài 156

Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn:  $\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+z^2}=5$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=x^3+y^3+2z^3$

$ Ta\quad có\quad :\quad \sqrt { 1+2x } +\sqrt { 1+2y } \ge 1+\sqrt { 1+2(x+y) } \\ ->4\ge \sqrt { 1+{ z }^{ 2 } } +\sqrt { 1+2(x+y) } \ge 1+\sqrt { 1+{ z }^{ 2 }+2(x+y) } ->{ z }^{ 2 }+2(x+y)\le 8->\begin{cases} x+y\le 4 \\ { z }^{ 2 }\le 8<16 \end{cases}\\ ->\begin{cases} x+y\le 4 \\ 2{ z }^{ 2 }(4-z)\ge 0 \end{cases}<=>\begin{cases} x+y\le 4 \\ { 2 }z^{ 3 }\le { 8z }^{ 2 } \end{cases}\\$.

$ Lại\quad có\quad :  ={ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }+{ 2z }^{ 3 }\le { (x+y) }^{ 3 }+{ 2z }^{ 3 }\le 8(2x+2y)+8{ z }^{ 2 }=8({ z }^{ 2 }+2(x+y))=64 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanyeubeo2000: 13-06-2016 - 02:17

[caobo171]

Bài 157: Cho x,y,z thỏa mãn $0\leq z\leq y\leq x\leq 1$. Tìm max của:
$P=(x^2-y^2)(y-z)+z^2(1-z)$

Ta thấy theo bất đẳng thức AM-GM thì 
$P=\frac{1}{3\sqrt{3}-5}(2-\sqrt{3})(x+y)(\sqrt{3}-1)(y-z)(x-y)+z^{2}(1-z)\leq \frac{1}{3\sqrt{3}-5}(\frac{(3-\sqrt{3})x-(\sqrt{3}-1)z}{3})^{3}+z^{2}(1-z)\leq \frac{1}{3\sqrt{3}-5}(\frac{(3-\sqrt{3})-(\sqrt{3}-1)z}{3})^{3}+z^{2}(1-z)$
Đến đây ta khảo sát theo biến z và thấy hàm đã cho nghịch biến trên đoạn [0;1] nên f(z) nhỏ nhất khi z=0 , thay vào ta tìm được max của biểu thức . )

[ThoiGianHMU]

Bài 158: Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn: $xy+x+y=3$ .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

$P=\frac{3x}{y+1}+\frac{3y}{x+1}+\frac{xy}{x+y}-(x^{2}+y^{2})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 15-06-2016 - 20:25