Bài 166: Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=8$. Tìm GTNN và GTLN của :
$P=\sum (x-y)^5$
Dễ có $xy+yz+xz\leq x^2+y^2+z^2=8$
Và $\left ( x+y+z \right )^2\geq 0\Leftrightarrow xy+yz+xz\geq -\frac{x^2+y^2+z^2}{2}=-4$
Suy ra $xy+yz+xz \in \left [ -4;8 \right ]$
Ta có
$P=5\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( z-x \right )\left ( 8-xy-yz-xz \right )$
$\Rightarrow \left | P \right |=\left | 5\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( z-x \right )\left ( 8-xy-yz-xz \right ) \right |$
Không mất tính TQ, giả sử $x\geq y\geq z$
Ta có
$\left | P \right |=5\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( x-z \right )\left ( 8-xy-yz-xz \right )$
Áp dụng AM-GM ta có
$\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\leq \left ( \frac{x-z}{2} \right )^2$
Áp dụng C-S ta có
$\left ( x-z \right )^2=\left ( x-y+y-z \right )^2\leq 2\left ( x-y \right )^2+2\left ( y-z \right )^2$
$\Leftrightarrow \left ( x-z \right )^2\leq \frac{4}{3}\left ( x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz \right )=\frac{4}{3}\left ( 8-xy-yz-xz \right )$
Suy ra
$\left | P \right |\leq \frac{5}{4}\left ( \frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{8-xy-yz-xz} \right )^3.\left ( 8-xy-yz-xz \right )\leq 960$
$\Leftrightarrow -960\leq P\leq 960$
Đẳng thức xảy ra
MinP chẳng hạn $x=2,y=0,z=-2$
MaxP chẳng hạn $x=-2,y=0,z=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZOT Murloc: 19-06-2016 - 01:18