Đề số 5
Câu 4: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AC>AB$), đường cao $AH$ ($H \in BC$). Trên tia $HC$ lấy điểm $D$ sao cho $HD=HA$. Đường vuông góc với $BC$ tại $D$ cắt $AC$ tại $E$.
a, CMR: $\Delta BEC$ đồng dạng với $\Delta ADC$. Tính độ dài $BE$ theo $m=AB$
b, Gọi $M$ là trung điểm đoạn $BE$. CMR: hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo $\widehat{AHM}$
c, Tia $AM$ cắt $BC$ tại $G$. CM: $\dfrac{GB}{BC}=\dfrac{HD}{AH+HC}$
Câu 4:
a, Ta có: $\Delta DEC\sim \Delta ABC(g-g)\Rightarrow \frac{DC}{AC}=\frac{EC}{BC}\Rightarrow \frac{BC}{AC}=\frac{EC}{CD}$
$\Rightarrow \Delta BEC\sim \Delta ADC(c-g-c)$
$\Rightarrow \widehat{BEC}=\widehat{ADC}\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{ADB}=45^o\Rightarrow \Delta ABE$ vuông cân tại $A$
$\Rightarrow BE^2=AB^2+AE^2=2AB^2=2m^2\Rightarrow BC=\sqrt{2m^2}$
b,
$\Delta HBA\sim \Delta ABC(g-g)\Rightarrow BH.BC=AB^2$
mà $AB^2=BM^2+MA^2=2BM^2=BM.BE$
$\Rightarrow BH.BC=BM.BE\Rightarrow \frac{BH}{BE}=\frac{BM}{BC}\Rightarrow \Delta BHM\sim \Delta BEC(c-g-c)$
$\Rightarrow \widehat{BHM}=\widehat{BEC}=180^o-\widehat{AEB}=135^o\Rightarrow \widehat{AHM}=\widehat{BHM}-90^o=45^o$
c,
$\frac{GB}{BC}=\frac{HD}{AH+HC}\Leftrightarrow \frac{GB}{GB+GC}=\frac{AH}{AH+HC}\Leftrightarrow \frac{GB}{GC}=\frac{AH}{HC}(*)$
Mà $\Delta ABE$ vuông cận tại $A$ có $AM$ là trung tuyến $\Rightarrow AM$ là phân giác của $\widehat{BAC}$
$\Rightarrow \frac{GB}{GC}=\frac{AB}{AC}$ mà $\Delta ABC\sim \Delta AHC\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AH}{HC}\Rightarrow \frac{GB}{GC}=\frac{AH}{HC}(**)$
Từ $(*),(**)$ suy ra đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 21-03-2016 - 20:02