Chủ đề này có 4 trả lời

[binhbo]

Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn: a+b+c> 0. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\leq \frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhbo: 20-03-2016 - 18:41

[NTA1907]

Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn: a+b+c> 0. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\leq \frac{1}{3}$

Điều kiện a+b+c>0 có vẻ là điều kiện thừa.

[binhbo]

để cho a,b,c không đồng thời bằng 0

[NTA1907]

để cho a,b,c không đồng thời bằng 0

Riêng điều kiện để các phân số có nghĩa thì a,b,c đã không đồng thời bằng 0 rồi nên điều kiện đó là không cần thiết

[anhquannbk]

Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn: a+b+c> 0. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\leq \frac{1}{3}$

Nhân cả 2 vế với $ 4(a+b+c)$

Để ý: $ \dfrac{a(4a+4b+4c)}{4a+4b+c}=a+\dfrac{3ac}{4a+4b+c} $

BĐT cần chứng minh trở thành:

$ \dfrac{9ac}{4a+4b+c}+\dfrac{9ab}{4b+4c+a}+\dfrac{9bc}{4a+4c+b}\le a+b+c $

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$ \dfrac{9}{4a+4b+c}=\dfrac{(2+1)^{2}}{2(2a+b)+(2b+c)}\le \dfrac{2}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c} $

suy ra $\dfrac{9ac}{4a+4b+c}\le \dfrac{2ac}{2a+b}+\dfrac{ac}{2b+c} $

Tương tự

$ \dfrac{9ab}{4b+4c+a}\le \dfrac{2ab}{2b+c}+\dfrac{ab}{2c+a} $

$\dfrac{9bc}{4a+4c+b}\le \dfrac{2bc}{2c+a}+\dfrac{bc}{2a+b} $

cộng từng vế BĐT: $ \dfrac{9ac}{4a+4b+c}+\dfrac{9ab}{4b+4c+a}+\dfrac{9bc}{4a+4c+b} \le \dfrac{2ac+bc}{2a+b}+\dfrac{ac+2ab}{2b+c}+\dfrac{ab+2bc}{2c+a}=a+b+c $

suy ra đpcm