Chủ đề này có 1 trả lời

[basketball123]

Cho $x\geq 1,y\geq 1,z>0$ thỏa mãn $x+y+xyz=xy$

Tìm $MinP=\sqrt{(x-1)(y-1)}+\frac{18xy}{x+y+2xyz}$

[quanguefa]

Cho $x\geq 1,y\geq 1,z>0$ thỏa mãn $x+y+xyz=xy$

Tìm $MinP=\sqrt{(x-1)(y-1)}+\frac{18xy}{x+y+2xyz}$

Ta có: $z=1-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1-z< 1$

$P=\sqrt{(x-1)(y-1)}+\frac{18xy}{x+y+2xyz}=\sqrt{xy-(x+y)+1}+\frac{18xy}{2xy-(x+y)}=\sqrt{xy}.\sqrt{1-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{1}{xy}}+\frac{18}{2-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})}$

Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y}$ ($a,b\leq 1$;  $a+b< 1$)

Khi đó: $P=\frac{18}{2-(a+b)}+\frac{1}{\sqrt{ab}}\sqrt{1-(a+b)+ab}=\frac{18}{2-(a+b)}+\sqrt{\frac{1-(a+b)}{ab}+1}\geq \frac{18}{2-(a+b)}+\sqrt{\frac{4[1-(a+b)]}{(a+b)^{2}}+1}$

Đặt t=a+b, ta có t<1. Và: $P=f(t)=\sqrt{\frac{4(1-t)}{t^2}+1}+\frac{18}{2-t}$

Tính đạo hàm và lập BBT thu được: $f(t)_{min}=f(\frac{1}{2})=15\Rightarrow P\geq 15$

Đẳng thức xảy ra khi: x=y=4, z=0,5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 17-04-2016 - 21:54