Ôn thi vào 10 chuyên đề bất đẳng thức
Mình lập topic này để các bạn có thêm tài liệu tham khảo chuẩn bị thi vào 10, cũng như học hỏi từ các bạn.
Bạn nào có cách giải khác hay bài nào hay thì hãy post lên.
Let's go
1. $x^2+y^2=2.$ Chứng minh rằng: $-2\leq x+y\leq 2$(bài này dễ 
)
Ta có:
$(x-y)^2\geq 0\Rightarrow x^2+y^2\geq 2xy$
$\Rightarrow$$2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$
$\Rightarrow$$(x+y)^2\leq 4$
$\Rightarrow$$\left | x+y \right |\leq 2$
$\Rightarrow$$-2\leq x+y\leq 2$
*$x+y=-2$$\Leftrightarrow x=y=-1$
*$x+y=2$$\Leftrightarrow x=y=1$
2. Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c=2012.
GTLN biểu thức $P= \frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}$ (Trích đề thi 2011-2012)
3. $x+y=1.$
Chứng minh: $x^4+y^4\geq \frac{1}{8}$
$\left.\begin{matrix} (x+y)^2=1 & \\ (x-y)^2\geq 0& \end{matrix}\right\}\Rightarrow (x+y)^2+(x-y)^2\geq 1$
$\Rightarrow 2(x^2+y^2)\geq 1$
$\Rightarrow x^2+y^2\geq \frac{1}{2}$
$\left.\begin{matrix} \Rightarrow (x^2+y^2)^2\geq \frac{1}{4} & \\ (x^2-y^2)^2\geq0 & \end{matrix}\right\}\Rightarrow (x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2\geq \frac{1}{4}$
$\Rightarrow x^{4}+y^{4}\geq \frac{1}{8}$
Edited by adamfu, 25-03-2016 - 20:39.
