Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Trên đường chéo BD lấy điểm M sao cho BM = 1/4 BO. Đường thẳng vuông góc với AM tại M cắt cạnh CD tại N. Biết AM = 1/2 AN . Chứng minh N là trung điểm của cạnh CD.
Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Các điểm E, F là các trung điểm của hai đáy AB và CD (AB < CD), biết rằng EF = 1/2 (CD-AB)
a) Chứng minh hai góc C và D phụ nhau
b) Kéo dài hai cạnh bên của hình thang cắt nhau tại M. Chứng minh ba điểm M, E, F thẳng hàng
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có AD = BC và AB <CD. Trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q. Nối AN, BP, CQ, DM chúng cắt nhau tại E, F, G, H
a) Chứng minh MNPQ là hình thoi
b) Hai cạnh DA và CB kéo dài cắt nhau tại G, kẻ tia phân giác Gx của góc AGB. Chứng minh Gx//MN
c) Tứ giác ABCD cần thêm điều kiện gì để MNPQ là hình vuông? Chứng minh.
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB < AC. Kẻ đường phân giác AD của góc A. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AB = CN. Các điểm F, G, H lần lượt là trung điểm của BN, BC và CA. Từ G kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC tại E. Chứng minh rằng EFGH là hình thoi
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi P, N, Q lần lượt là trung điểm của BD, BC , CA. Từ N kẻ đường thẳng vuông góc với PQ tại O và cắt AC tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AD
Bài 6: CHo tam giác ABC (góc A <90o), Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông ABDE, ACGF. Gọi M là trung điểm của DF. Chứng minh tam giác MBC vuông cân
Bài 7: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AD, AB sao co AE = AF. Gọi H là hình chiếu của A trên BE. Tính góc CHF
Bài 8: Cho điểm M thuộc cạnh CD của hình vuông ABCD. Tia phân giác của góc ABM cắt AD ở I. Chứng minh rằng BI $\leq$ 2MI
Bài 9: Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các hình vuông ABE, ACFG có tâm theo thứ tự là M, N. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của EG, BC.
a) Chứng minh KMIN là hình vuông
b) Nếu tam giác ABC có BC cố định và đường cao tương ứng bằng h không đổi thì I chuyển động trên đường nào?
