Chủ đề này có 527 trả lời

[Nobel]

Đề thi vào lớp chuyên toán miền Bắc, 1972:

a) Phân tích biểu thức ra nhân tử: $A=x^3(x^2-7)^2-36x$.

b) Dựa vào kết quả câu trên hãy chứng minh biểu thức :$n^3(n^2-7)^2-36n$ luôn luôn chia hết cho $7$ với mọi số nguyên $n$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobel: 27-04-2016 - 19:32

[Mystic]

Đề thi vào lớp chuyên toán miền Bắc, 1972:

a) Phân tích biểu thức ra nhân tử: $A=x^3(x^2-7)^2-36x$.

b) Dựa vào kết quả câu trên hãy chứng minh biểu thức :$n^3(n^2-7)^2-36n$ luôn luôn chia hết cho $7$ với mọi số nguyên $n$.

a) $A=x^3(x^2-7^2)^2-36x$

$=x[x^2(x^2-7)^2-36]=x(x^6-14x^4+49x^2-36)$

$=x[(x^6-9x^4)-(5x^4-45x^2)+(4x^2-36)]$

$=x[x^4(x^2-9)-5x^2(x^2-9)+4(x^2-9)]=x(x^2-9)(x^4-5x^2+4)$

$=x(x^2-9)(x^2-1)(x^2-4)=x(x-3)(x+3)(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$.

b) Áp dụng tính chất tích của 7 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 7 nên ta có đpcm.

[Lawer]

Đề thi vào lớp chuyên toán miền Bắc, 1972:

a) Phân tích biểu thức ra nhân tử: $A=x^3(x^2-7)^2-36x$.

b) Dựa vào kết quả câu trên hãy chứng minh biểu thức :$n^3(n^2-7)^2-36n$ luôn luôn chia hết cho $7$ với mọi số nguyên $n$.

a) Cách khác ngắn gọn hơn:

Xét :$B=x^2(x^2-7)^2-36$. Dễ thấy rằng :$B=0$ với $x=\pm 1,\pm 2,\pm 3;$

Do đó vì $B$ là đa thức bậc 6 của $x$, ta có:

$B=(x-3)(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)$

$\Rightarrow A=(x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)$

b) Theo kết quả trên, ta có:

$n^3(n^2-7)^2-36n=n(n-3)(n+3)(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$

Ta viết lại đưới dạng :$(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)$.

Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7(đpcm).

[Mystic]

a) Cách khác ngắn gọn hơn:

Xét :$B=x^2(x^2-7)^2-36$. Dễ thấy rằng :$B=0$ với $x=\pm 1,\pm 2,\pm 3;$

Do đó vì $B$ là đa thức bậc 6 của $x$, ta có:

$B=(x-3)(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)$

$\Rightarrow A=(x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)$

b) Theo kết quả trên, ta có:

$n^3(n^2-7)^2-36n=n(n-3)(n+3)(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$

Ta viết lại đưới dạng :$(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)$.

Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7(đpcm).

Câu a của bạn ngắn hơn của mình nhưng cách đó theo mình cũng không dễ lắm đâu bởi vì  ta khó có thể tìm đc hết tất cả các nghiệm của A , nếu đề phức tạp hơn thì khó lắm

[lamgiaovien2]

Bài tiếp theo ( đề thi vòng 1 DHKHTNHN) 

 Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức $(1+a)(1+b)=\frac{9}{4}$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}$

[lamgiaovien2]

Bài tiếp theo ( đề thi vòng 1 DHKHTNHN) 

 Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức $(1+a)(1+b)=\frac{9}{4}$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}$

Câu này 1 điểm, sau 2 ngày 2 đêm tự mần mò thì đã cm dc nhưng vẫn nghĩ là ko đúng lắm, mọi người giải hộ rồi mình đăng đáp án của mình xem mình làm đúng ko nhé

[Lawer]

Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên $n\geqslant 2$ thì $S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}$ không thể là một số nguyên.

[Lawer]

Chứng minh rằng: $5.7^{2(n+1)}+2^{3n}$ chia hết cho $41$ với $n$ là số nguyên dương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lawer: 27-04-2016 - 21:19

[lamgiaovien2]

Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên $n\geqslant 2$ thì $S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}$ không thể là một số nguyên.

   Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp 

 

Với n =2 thấy $S\notin Z$ 

Giả sử S đúng đến k, ta cần chứng minh S cũng đúng kến k+1

Thật vậy, $S\Leftrightarrow \frac{3}{4}+\frac{8}{9}+..+ \frac{k^2-1}{k^2}+\frac{(k+1)^2-1}{(k+1^2)}$

              $\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{k^2+2k}{(k+1)^2}$(Với a, b nguyên tố cùng nhau và a, b nguyên)

               $\Leftrightarrow \frac{a}{b}+1-\frac{1}{(k+1)^2} \notin Z$( vì $\frac{1}{(k+1)^2}$ là số thập phân)

vậy S ko là số nguyên với mọi n $\geq 2$

[PlanBbyFESN]

Bài toán (BĐT): Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $xy+yz+zx=1$.

 

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M=x^{2}+3y^{2}+5z^{2}$

                                                             $N=x^{2}+2y^{2}+5z^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 27-04-2016 - 20:58

[Dark Magician 2k2]

Bài tiếp theo ( đề thi vòng 1 DHKHTNHN) 

 Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức $(1+a)(1+b)=\frac{9}{4}$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}$

Áp dụng bất đẳng thức Minkovsky có

$P=\sqrt{a^4+1}+\sqrt{b^4+1}\geq\sqrt{(a^2+b^2)^2+(1+1)^2}\geq\sqrt{(\frac{(a+b)^2}{2}})^2+4=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{\begin{matrix} (a+1)(b+1)=\frac{9}{4}\\ a=b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

Vậy ...

 

 

 

[PlanBbyFESN]

Bài toán (BĐT): Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

 

CM: $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 27-04-2016 - 20:57

[Cuongpa]

Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên $n\geqslant 2$ thì $S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}$ không thể là một số nguyên.

Cách 2: $S=n-1-\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i^{2}}$

Ta chứng minh $\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^{2}}\notin \mathbb{Z}$

Thật văỵ: $\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i^{2}}< \sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i(i-1)}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n-1)}=1-\frac{1}{n}<1$

Mặt khác: $\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i^{2}}>0$

Do đó: $0< \sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i^{2}}<1\Rightarrow n-2< S< n-1\Rightarrow S\notin \mathbb{Z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cuongpa: 27-04-2016 - 21:16

[Lawer]

   Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp 

 

Với n =2 thấy $S\notin Z$ 

Giả sử S đúng đến k, ta cần chứng minh S cũng đúng kến k+1

Thật vậy, $S\Leftrightarrow \frac{3}{4}+\frac{8}{9}+..+ \frac{k^2-1}{k^2}+\frac{(k+1)^2-1}{(k+1^2)}$

              $\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{k^2+2k}{(k+1)^2}$(Với a, b nguyên tố cùng nhau và a, b nguyên)

               $\Leftrightarrow \frac{a}{b}+1-\frac{1}{(k+1)^2} \notin Z$( vì $\frac{1}{(k+1)^2}$ là số thập phân)

vậy S ko là số nguyên với mọi n $\geq 2$

Đoạn màu đỏ bạn viết sai nhé phải là :$(k+1)^2$.

Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên $n\geqslant 2$ thì $S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}$ không thể là một số nguyên.

Giải:

$S=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}$

$S=(1-\frac{1}{2^2})+(1-\frac{1}{3^2})+(1-\frac{1}{4^2})+...+(1-\frac{1}{n^2})$

$S=n-1-(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2})< n-1$. Vậy: $S< n-1(1)$

*Ta chứng minh: $S>n-2$

Thật vậy: $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1)n}< (1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{(n-1)}-\frac{1}{n})< 1-\frac{1}{n}$

Do đó :$S> n-1-(1-\frac{1}{n})=n-2+\frac{1}{n}> n-2.$

Vậy:$S> n-2(2)$.

Từ (1) và (2) ta suy ra:$n-2< S< n-1$ với mọi số nguyên dương $n\geq 2.$

Mà $n-2$ và $n-1$ là hai số nguyên dương liên tiếp.

Nên $S$ không là số nguyên (đpcm).

[Cuongpa]

Chứng minh rằng: $5.7^{2(2+1)}+2^{3n}$ chia hết cho $41$ với $n$ là số nguyên dương.

Tại sao lại là $5.7^{2(2+1)}$, bạn có nhầm đề ko?

[Lawer]

Tại sao lại là $5.7^{2(2+1)}$, bạn có nhầm đề ko?

Vâng xin lỗi bạn mình đã sửa ở trên .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lawer: 27-04-2016 - 21:21

[nloan2k1]

Bài hình thi vào CSP ngày 2:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường cao AD, BE, CF đồng qui tại H. Các tiếp tuyến tại B và C của $(O)$ cắt nhau tại S. AO và BS cắt EF tại Y và X. Chứng minh: $\frac{EF}{BC}=\frac{FY}{DC}$

Bài toán gốc: Cho tam giác nhọn $ABC(AB<AC)$,$M$ là trung điểm của cạnh $BC$,$O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.Các đường cao $AD$,$BE$,$CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H$.Các tiếp tuyến với $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $S$.Gọi $X$,$Y$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $EF$ với các đường thẳng $BS$,$AO$.Chứng minh rằng:

1.$MX \perp BF$

2.Hai tam giác $SMX$ và $DHF$ đồng dạng

3.$\frac{EF}{FY}=\frac{BC}{CD}$ 

 

Chứng minh  các ý nhỏ thì dễ rồi 

[nntien]

Bài toán (BĐT): Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $xy+yz+zx=1$.

 

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M=x^{2}+3y^{2}+5z^{2}$

                                                             $N=x^{2}+2y^{2}+5z^{2}$

Hy vọng bài toán này không nằm trong đề thi tuyển sinh vào chuyên Toán bất kỳ trường nào!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 28-04-2016 - 09:35

[nntien]

Bài toán hình:

 

Cho hình vuông ABCD. Bên trong hình vuông ABCD lấy điểm E sao cho tam giác BCE đều. EC cắt BD tại F. Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm của AF.

[lamgiaovien2]

Bài kế tiếp ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 DHSPHN ) 

Biết $a, b, c> 0$ và $a+b+c=2016$. Hãy tìm GTNN của $A=\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}$