Chủ đề này có 527 trả lời

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Góp một bài:

Tìm tất cả số tự nhiên có dạng $\overline{69bbcc96}$ sao cho $\overline{bbcc}$ là số chính phương.

[uchihasatachi061]

cộng lại thì đc x+y+z=0/1

r làm sao nữa

haizz   th1 : x+y+z=1$\Rightarrow x=-y-z$ thế vào pt $x^{2}+2yz=x$ đc $y=0$ hoặc $z=0$ thay xuống các pt khác tìm ra... 

[Zeref]

Góp một bài:

Tìm tất cả số tự nhiên có dạng $\overline{69bbcc96}$ sao cho $\overline{bbcc}$ là số chính phương.

Đặt $n^2$ = $\overline{bbcc}$

$n^2 = 11(100b+c)=11(99b+b+c)$

Vì 99b+b+c chia hết 11  nên b+c chia hết 11

Dễ suy ra b+c =11

Vậy $n^2=11(99b+11)=11^2(9b+1)$

Vậy 9b+1 phải là số chính phương 

Thay các giá trị 1..10 tìm được b=7 => c=4

Vậy số tự nhiên đó là 69774496

Chả hiểu cái "Tìm tất cả số tự nhiên có dạng $\overline{69bbcc96}$" để làm gì nữa?

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Đặt $n^2$ = $\overline{bbcc}$

$n^2 = 11(100b+c)=11(99b+b+c)$

Vì 99b+b+c chia hết 11  nên b+c chia hết 11

Dễ suy ra b+c =11

Vậy $n^2=11(99b+11)=11^2(9b+1)$

Vậy 9b+1 phải là số chính phương 

Thay các giá trị 1..10 tìm được b=7 => c=4

Vậy số tự nhiên đó là 69774496

Chả hiểu cái "Tìm tất cả số tự nhiên có dạng $\overline{69bbcc96}$" để làm gì nữa?

Mình thật sự cũng chả hiểu, sách nó ghi vậy, chỉ là mình sửa lại các số xung quanh bbcc cho hấp dẫn thôi :v với mình nghĩ làm như vậy để thay cho câu "b khác 0"

[Zeref]

Đóng góp cho topic bài này

Giải phương trình

$x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1=0$

[Ngu Vi Toan]

"Thay các giá trị 1..10 tìm được b=7 => c=4"

 

chỗ này có cách khác được k?

9b+1 la so chinh phuong =>Đặt  9b+1 = x^2

                                   => 9b= (x-1)(x+1) (la tich cua hai so cach nhau 2 don vi)

                                    ma b<9 => b=7

mình chỉ nghĩ vậy thôi mong các bạn góp ý ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngu Vi Toan: 09-05-2016 - 20:27

[ngochapid]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1$ 

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{2 }\leq \frac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\frac{y^{3}}{y^{2}+zx}+\frac{z^{3}}{z^{2}+xy}<1$

[adamfu]

Đề LHP nè(2001-2002)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực tâm H. Lấy
điểm M thuộc cung nhỏ BC.
a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Với M bất kì thuộc cung nhỏ BC, gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua
AB, AC. Chứng minh N, H, E thẳng hàng.
c) Xác định vị trí M sao cho NE có độ dài nhỏ nhất.

[Ngu Vi Toan]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1$ 

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{2 }\leq \frac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\frac{y^{3}}{y^{2}+zx}+\frac{z^{3}}{z^{2}+xy}<1$

 

A=  $\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\frac{y^{3}}{y^{2}+zx}+\frac{z^{3}}{z^{2}+xy}$

   =  $\frac{x^3+xyz}{x^2+yz}-\frac{xyz}{x^2+yz}+\frac{y^3+xyz}{y^2+zx}-\frac{xyz}{y^2+zx}+\frac{z^3+xyz}{z^2+xy}-\frac{xyz}{z^2+xy}$

  = $(x+y+z)-xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy})$

  = $1 - xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy})$ (1)

+)cần cm: $\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\frac{y^{3}}{y^{2}+zx}+\frac{z^{3}}{z^{2}+xy} < 1$

xét (1) có:$xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy})$ luôn >0 (vi x,y,z >0)

     => $1 - xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy}) <0$

=> A < 1 (dpcm)

còn 1 cái đag nghĩ ....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngu Vi Toan: 09-05-2016 - 21:22

[ngochapid]

A=  $\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\frac{y^{3}}{y^{2}+zx}+\frac{z^{3}}{z^{2}+xy}$

   =  $\frac{x^3+xyz}{x^2+yz}-\frac{xyz}{x^2+yz}+\frac{y^3+xyz}{y^2+zx}-\frac{xyz}{y^2+zx}+\frac{z^3+xyz}{z^2+xy}-\frac{xyz}{z^2+xy}$

  = $(x+y+z)-xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy})$

  = $1 - xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy})$ (1)

+)cần cm: $\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\frac{y^{3}}{y^{2}+zx}+\frac{z^{3}}{z^{2}+xy} < 1$

xét (1) có:$xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy})$ luôn >0 (vi x,y,z >0)

     => $1 - xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy}) <0$

=> A < 1 (dpcm)

còn 1 cái đag nghĩ ....

Mình xin luôn đoạn đầu để nêu ý tưởng ý còn lại của mình

Áp dụng $AM-GM$ cho cả ba mẫu ta được: $xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy})\leq \sum \frac{xyz}{3\sqrt[3]{x^2yz}}=\sum \frac{\sqrt[3]{x\left ( yz \right )^2}}{3}=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{3}\sum \sqrt[3]{yz}$

Đến đây tiếp tục sử dụng $AM-GM$ $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\sqrt[3]{yz}\leq 3(\frac{2}{9}+yz)$

Tương tự với các trường hợp còn lại, cộng theo vế rồi áp dụng bđt $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngochapid: 09-05-2016 - 22:24

[Ngu Vi Toan]

Mình xin luôn đoạn đầu để nêu ý tưởng ý còn lại của mình

Áp dụng $AM-GM$ cho cả ba mẫu ta được: $xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy})\leq \sum \frac{xyz}{3\sqrt[3]{x^2yz}}=\sum \frac{\sqrt[3]{x\left ( yz \right )^2}}{3}=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{3}\sum \sqrt[3]{yz}$

Đến đây tiếp tục sử dụng $AM-GM$ $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\sqrt[3]{yz}\leq 3(\frac{2}{9}+yz)$

Tương tự với các trường hợp còn lại, cộng theo vế rồi áp dụng bđt $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2$ 

chỗ này có chút nhầm lẫn phải không ???

minh nghĩ là: $3(\frac{1}{\sqrt[3]{9}}+\frac{1}{\sqrt[3]{9}}+\sqrt[3]{yz})\leq \frac{1}{9}+\frac{1}{9}+yz$

   

[ngochapid]

chỗ này có chút nhầm lẫn phải không ???

minh nghĩ là: $3(\frac{1}{\sqrt[3]{9}}+\frac{1}{\sqrt[3]{9}}+\sqrt[3]{yz})\leq \frac{1}{9}+\frac{1}{9}+yz$

   

Mình xin lỗi, chỗ đó là tích nhé

Sửa lại thành $3\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\sqrt[3]{yz}\leq (\frac{2}{9}+yz)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngochapid: 09-05-2016 - 23:05

[ngochapid]

Đề LHP nè(2001-2002)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực tâm H. Lấy
điểm M thuộc cung nhỏ BC.
a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Với M bất kì thuộc cung nhỏ BC, gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua
AB, AC. Chứng minh N, H, E thẳng hàng.
c) Xác định vị trí M sao cho NE có độ dài nhỏ nhất.

Bài này lại phải xét hai trường hợp $A$ thuộc cung nhỏ $BC$ và không thuộc cung nhỏ $BC$ sao? 

[adamfu]

Bài này lại phải xét hai trường hợp $A$ thuộc cung nhỏ $BC$ và không thuộc cung nhỏ $BC$ sao? 

Tam giác ABC có 3 góc nhọn nên A phải thuộc cung lớn BC

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

chỗ này có cách khác được k?

9b+1 la so chinh phuong =>Đặt  9b+1 = x^2

                                   => 9b= (x-1)(x+1) (la tich cua hai so cach nhau 2 don vi)

                                    ma b<9 => b=7

mình chỉ nghĩ vậy thôi mong các bạn góp ý ...

Được bạn, cách bạn thuần tuý hơn cách kia, bởi đây ko phải là bài tập dạng casio nên làm như bạn chặt hơn

[Zeref]

Đề LHP nè(2001-2002)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực tâm H. Lấy
điểm M thuộc cung nhỏ BC.
a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Với M bất kì thuộc cung nhỏ BC, gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua
AB, AC. Chứng minh N, H, E thẳng hàng.
c) Xác định vị trí M sao cho NE có độ dài nhỏ nhất.

Câu b chứng minh thế nào nhỉ?

[adamfu]

Câu b chứng minh thế nào nhỉ?

cm được BC là đường trung bình tam giác MNE=>BC//NE

tgBHC=tgECH(cgc)=>BHEC là hbh=>BC//HE

làm giúp mk câu c đi

[PhucLe]

Một vài bài tập Bất đẳng thức và cực trị dùng phép biến đổi tương đương (nếu cần thì có thể vận dụng cà Cauchy, nhưng thường thì rất nhỏ):

1. Cho $\left\{\begin{matrix} a, b> 0 & & \\ ab>1 & & \end{matrix}\right.$. Chứng minh $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

2. Cho $\left\{\begin{matrix} 1\leq a,b,c,d\leq 2 & & \\ a+b+c+d=6 & & \end{matrix}\right.$. Tìm GTLN cùa $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$

3. Cho $2(x^{2}+y^{2})=xy+1$. Tìm GTLN và GTNN của $U=xy$.

p/s 1: Có bạn nào biết cách tìm điểm rơi của các bài tìm cực trị này không?

p/s 2: Ai có những bài tập, những tài liệu tương tự như mấy bài này (tức là chứng minh BĐT hoặc tìm cực trị bằng biến đổi tương đương), cho mình xin với?

[dogamer01]

cm được BC là đường trung bình tam giác MNE=>BC//NE

tgBHC=tgECH(cgc)=>BHEC là hbh=>BC//HE

làm giúp mk câu c đi

 

BC sao là đường trung bình được, M đây là điểm bất kì mà (câu b hoàn toàn độc lập với câu a)

[dogamer01]

Đề LHP nè(2001-2002)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực tâm H. Lấy
điểm M thuộc cung nhỏ BC.
a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Với M bất kì thuộc cung nhỏ BC, gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua
AB, AC. Chứng minh N, H, E thẳng hàng.
c) Xác định vị trí M sao cho NE có độ dài nhỏ nhất.

 

Chú ý: Áp dụng đường thẳng Simson, ta có 3 điểm K, F, D thẳng hàng với K, F, D lần lượt là hình chiếu của M trên AB BC, CA

 

Dễ dàng chứng minh tứ giác MKBF là tứ giác nội tiếp => $\widehat{CBM} = \widehat{Đánh con mèo}$

                                  tứ giác MCDF là tứ giác nội tiếp => $\widehat{BCM} = \widehat{KDM}$

 

$\Rightarrow \bigtriangleup KDM \sim \bigtriangleup BCM \Rightarrow \frac{KD}{BC} = \frac{KM}{BM} , KM \leq BM \Rightarrow \frac{KD}{BC} \leq 1 => KD \leq BC \Rightarrow NE \leq 2BC$

 

Dấu đẳng thức xảy ra <=> M - đường kính đường tròn (O) hay A, O, M thẳng hàng (sorry vì trong hình quên mất vẽ điểm O)

 

P/s: Sao góc của mình trên hình tự sửa là Đánh con mèo vậy Mod

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogamer01: 10-05-2016 - 15:38