Chủ đề này có 527 trả lời

[ducthang0701]

haizz   th1 : x+y+z=1$\Rightarrow x=-y-z$ thế vào pt $x^{2}+2yz=x$ đc $y=0$ hoặc $z=0$ thay xuống các pt khác tìm ra... 

cái đó thì k vấn đề r ,còn TH =1 ấy

[tanthanh112001]

Bài BĐT (đề thi chuyên toán tỉnh mình, năm nào thì không rõ nữa)

Cho $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$M=\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanthanh112001: 10-05-2016 - 20:09

[githenhi512]

Bài BĐT (đề thi chuyên toán tỉnh mình, năm nào thì không rõ nữa)

Cho $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$M=\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}$

$M=\sum \frac{1}{a^2+2b^2+3}=\sum \frac{1}{(a^2+b^2)+(b^2+1)+2}\leq \sum \frac{1}{2(ab+b+1)}$

$abc=1\Rightarrow \sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{abc}{b(a+1+ca)}+\frac{abc}{bc(1+ca+a)}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{ac+a+1}{ca+a+1}=1$

$\Rightarrow Max M=0.5\Leftrightarrow a=b=c=1$

[adamfu]

BC sao là đường trung bình được, M đây là điểm bất kì mà (câu b hoàn toàn độc lập với câu a)

à quên mất

đọc đề không kĩ

vậy câu b làm thế nào 

[ducthang0701]

$M=\sum \frac{1}{a^2+2b^2+3}=$

 

dấu sau dấu bằng là dấu cộng hả ,sao thế nhỉ

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

dấu sau dấu bằng là dấu cộng hả ,sao thế nhỉ

$\sum a=a+b+c;\sum a+a^2=a+a^2+b+b^2+c+c^2$ (2 ví dụ về cái dấu mà bạn hỏi)

Mình thì không biết giải thích thế nào nên đưa cho bạn 2 ví dụ để bạn hiểu

[O0NgocDuy0O]

Bài BĐT:

Cho ba số dương $x,y,z$. Chứng minh rằng: $$\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\leq \frac{3}{4}.$$

[O0NgocDuy0O]

Đóng góp cho topic bài này

Giải phương trình

$x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1=0$

Bài này sao không ai giải nhỉ?

$x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1=0\Leftrightarrow \frac{x^{10}-x^{5}+1}{x^{2}-x+1}=0\Leftrightarrow$ $PT$ vô nghiệm. 

[the unknown]

Bài BĐT:

Cho ba số dương $x,y,z$. Chứng minh rằng: $$\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\leq \frac{3}{4}.$$

Điều phải chứng minh tương đương $\sum \frac{x+y}{x+y+2z}\geq \frac{3}{2}$.

Mặt khác áp dụng Svac-xơ ta có $\sum \frac{x+y}{x+y+2z}= \sum \frac{(x+y)^2}{(x+y)(x+y+2z)}\geq \frac{4(x+y+z)^2}{\sum (x+y)(x+y+2z)}$.

Do đó ta chỉ cần chứng minh $8(x+y+z)^2\geq 3\sum (x+y)(x+y+2z)\Leftrightarrow \sum (x-y)^2\geq 0$ ( luôn đúng), do đó ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$.

[dogamer01]

Bài BĐT:

Cho ba số dương $x,y,z$. Chứng minh rằng: $$\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\leq \frac{3}{4}.$$

 

$\frac{x}{2x + y + z} \leq \frac{x}{4} (\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x + z})$

 

$\frac{y}{x + 2y + z} \leq \frac{y}{4} (\frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z})$

 

$\frac{z}{x + y + 2z} \leq \frac{z}{4} (\frac{1}{z + y} + \frac{1}{ z+ x})$

 

Cộng vế với vế lại, ta có:

 

$\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\leq \frac{3}{4}$

[dogamer01]

à quên mất

đọc đề không kĩ

vậy câu b làm thế nào 

 

Lấy K đối xứng  qua BC, dễ dàng chứng minh N, K, E thẳng hàng.

 

Lấy J, I lần lượt đối xứng H qua AB, AC => I, J nằm trên (O) và tứ giác MHJN cùng tứ giác MHIE là hình thang cân => Tứ giác MHJN và tứ giác MHIE đều là tứ giác nội tiếp => $\widehat{EHI}$ = $\widehat{MIH}$ (tính chất hình thang cân MHJN) = $\widehat{MAB}$. Tương tự $\widehat{NHJ}$ = $\widehat{MJH}$ (tính chất hình thang cân MHIE) = $\widehat{MAC}$

 

=> $\widehat{NHJ}$ + $\widehat{EHI}$ + $\widehat{JHI}$ = $\widehat{MAC}$ + $\widehat{MAB}$ + $\widehat{IHJ}$ = $\widehat{BAC}$ + $\widehat{IHJ}$ = 180

 

=> N, H, E thẳng hàng.
 

Hình gửi kèm

• 

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Tìm các chữ số a,b sao cho: $\overline{ab}^2=(a+b)^3$

[O0NgocDuy0O]

Điều phải chứng minh tương đương $\sum \frac{x+y}{x+y+2z}\geq \frac{3}{2}$.

Mặt khác áp dụng Svac-xơ ta có $\sum \frac{x+y}{x+y+2z}= \sum \frac{(x+y)^2}{(x+y)(x+y+2z)}\geq \frac{4(x+y+z)^2}{\sum (x+y)(x+y+2z)}$.

Do đó ta chỉ cần chứng minh $8(x+y+z)^2\geq 3\sum (x+y)(x+y+2z)\Leftrightarrow \sum (x-y)^2\geq 0$ ( luôn đúng), do đó ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$.

 

$\frac{x}{2x + y + z} \leq \frac{x}{4} (\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x + z})$

 

$\frac{y}{x + 2y + z} \leq \frac{y}{4} (\frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z})$

 

$\frac{z}{x + y + 2z} \leq \frac{z}{4} (\frac{1}{z + y} + \frac{1}{ z+ x})$

 

Cộng vế với vế lại, ta có:

 

$\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\leq \frac{3}{4}$

Cách khác: BĐT cần chứng minh tương đương với: $$\frac{x+y+z}{2x+y+z}+\frac{x+y+z}{x+2y+z}+\frac{x+y+z}{x+y+2z}\geq \frac{9}{4}$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\geq \frac{9}{4(x+y+z)}.$$(BĐT này hiển nhiên đúng theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ cho $3$ số bởi $x,y,z$ dương).

Vậy ta có ĐPCM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 11-05-2016 - 18:06

[O0NgocDuy0O]

Bài Hình: Chứng minh rằng khi chia ba các góc của một tam giác thì ba giao điểm của các đường chia ấy là đỉnh của một tam giác đều.

[ngochapid]

Tìm các chữ số a,b sao cho: $\overline{ab}^2=(a+b)^3$

 

Tìm các chữ số a,b sao cho: $\overline{ab}^2=(a+b)^3$

Gt $\Leftrightarrow \overline{ab}=(a+b)\sqrt{a+b} (*)$ $=>$ $a+b$ là số chính phương

Mà $1\leq a+b\leq 18$

$\Rightarrow a+b\epsilon \left \{ 1;4;9;16 \right \}$

Thay vào $(*)$ suy ra đpcm

[ngochapid]

Bài Hình: Chứng minh rằng khi chia ba các góc của một tam giác thì ba giao điểm của các đường chia ấy là đỉnh của một tam giác đều.

Chia ba góc nghĩa là sao?

[O0NgocDuy0O]

Chia ba góc nghĩa là sao?

Ví dụ chia góc $A$ thành 3 góc bằng nhau ấy.

[ngochapid]

Ví dụ chia góc $A$ thành 3 góc bằng nhau ấy.

Tức là mỗi góc có hai đường thẳng để chia hả?

Thế thì nếu giao của nó là đỉnh của một tam giác đều thì có nhiều hơn 3 giao mà?

[O0NgocDuy0O]

Tức là mỗi góc có hai đường thẳng để chia hả?

Thế thì nếu giao của nó là đỉnh của một tam giác đều thì có nhiều hơn 3 giao mà?

Hình đây bạn: 

Đây là bài toán chia ba các góc một tam giác của Morley đấy.

[Zeref]

Giải hệ 

$\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2=16 & & \\ y^3+2x^2=16 \end{matrix}\right.$