Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $ac+b^2=2bc.$ Tìm GTNN của $P=\frac{2a^2+b^2}{\sqrt{a^2b^2-ab^3+4b^4}}+\frac{2b^2+c^2}{\sqrt{b^2c^2-bc^3+4c^4}}$
$P=\frac{2a^2+b^2}{\sqrt{a^2b^2-ab^3+4b^4}}+\frac{2b^2+c^2}{\sqrt{b^2c^2-bc^3+4c^4}}$
Bắt đầu bởi caybutbixanh, 28-03-2016 - 19:44
#2
Đã gửi 09-04-2016 - 20:44
dark templar
-
- Hiệp sỹ
-
- 3788 Bài viết
Kael-Invoker
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $ac+b^2=2bc.$ Tìm GTNN của $P=\frac{2a^2+b^2}{\sqrt{a^2b^2-ab^3+4b^4}}+\frac{2b^2+c^2}{\sqrt{b^2c^2-bc^3+4c^4}}$
---------------------------------
Viết lại điều kiện thành $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}=2$ và $P=f\left(\frac{a}{b} \right)+f\left(\frac{b}{c} \right)$ với $f(t)=\frac{2t^2+1}{\sqrt{t^2-t+4}}$.
Đặt $x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c}$ thì $x,y>0$ và $x+y=2,P=f(x)+f(y)$.
Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau:
$$\frac{2x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-x+4}}\geqslant \frac{29x-5}{16},\forall x \in (0;2)\Leftrightarrow 3(x-1)^{2}(61x^{2}+499x+52)\geqslant 0$$
BĐT luôn đúng với mọi $x \in (0;2)$.
Do đó $P \geqslant \frac{29(x+y)-10}{16}=3$.Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$ hay $a=b=c$.
- caybutbixanh yêu thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
