Chủ đề này có 1 trả lời

[phamngochung9a]

Cho $x,y,z$ là những số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

     $\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{1}{(y+1)^{3}}+\frac{1}{(z+1)^{3}}+\frac{5}{(x+1)(y+1)(z+1)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 29-03-2016 - 19:23

[anhquannbk]

Cho $x,y,z$ là những số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

     $\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{1}{(y+1)^{3}}+\frac{1}{(z+1)^{3}}+\frac{5}{(x+1)(y+1)(z+1)}$

Ta sẽ chứng minh      $\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{1}{(y+1)^{3}}+\frac{1}{(z+1)^{3}}+\frac{5}{(x+1)(y+1)(z+1)} \ge 1$

Đặt $a=\dfrac{1}{x+1}$, $b=\dfrac{1}{y+1}$, $c=\dfrac{1}{z+1}$

Khi đó điều kiện $xyz=1$ trở thành $abc=(1-a)(1-b)(1-c)$

Đặt $a+b+c=p, ab+bc+ac=q, abc=r$ ta có: $2r=1-p+q$

BĐT cần chứng minh:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+5abc\ge 1$

hay $p^{3}-3p^{2}q+3r+5r \ge 1$

$p^{3}-3p^{2}q+8r\ge1$

$p^{3}-4p+3\ge q.(3p-4)$ (thay $2r=1-p+q$)

Ta có: $2r=1-p+q$ suy ra $p-1\le q \le \dfrac{p^{2}}{3}$

Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp1: $p\le1$ ta có:

$p^{3}-4p+3=(1-p)(3-p-p^{2}) \ge 0 > q(3p-4)$ (đúng)

Trường hợp 2: $1<p<\dfrac{4}{3}$ ta có:

$p^{3}-4p+3-q(3p-4) > p^{3}-4p+3-(3p-4)(p-1)=(s-1)^{3} >0$ (đúng)

Trường hợp 3: $p\ge \dfrac{4}{3}$ ta có:

$p^{3}-4p+3-q(3p-4) \ge p^{3}-4p+3-(3p-4).\dfrac{p^{2}}{3}=\dfrac{(2p-3)^{2}}{3} \ge 0$(đúng)

Vậy $GTNN$ bằng $1$, dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$