Chủ đề này có 2 trả lời

[I Love MC]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp và $AC,BD$ vuông góc với nhau tại $K$. $X,Y,Z,T$ theo thứ tứ là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$. $XK,YK,ZK,TK$ theo thứ cắt $CD,DA,AB,BC$ tại $X',Y',Z',T'$. Chứng minh $X,Y,Z,T,X',Y',Z',T'$ cùng thuộc $1$ đường tròn

Hình gửi kèm

• 

[baopbc]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp và $AC,BD$ vuông góc với nhau tại $K$. $X,Y,Z,T$ theo thứ tứ là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$. $XK,YK,ZK,TK$ theo thứ cắt $CD,DA,AB,BC$ tại $X',Y',Z',T'$. Chứng minh $X,Y,Z,T,X',Y',Z',T'$ cùng thuộc $1$ đường tròn

Mình nghĩ bài này cũng có thể đặt trong box $THCS$ cũng được!

Lời giải:

Do $XT,YZ$ lần lượt là đường trung bình của các tam giác $ABD,BCD$ nên $XT||YZ$. Tương tự thì $XY||ZT$ nên $XYZT$ là hình bình hành.

Mặt khác $BD\perp AC$ nên $\angle XTZ=90^{\circ}$. Vậy $XYZT$ là hình chữ nhật hay $X,Y,Z,T$ đồng viên.

Lại có:$\angle KXB=\angle ZKC=\angle ZCK=90^{\circ}-\angle KFX' \Rightarrow XX'\perp CD\Rightarrow X',X,T,Z$ đồng viên.

Chứng minh tương tự ta suy ra $X,Y,Z,T,X',Y',Z',T'$ cùng thuộc một đường tròn. $\blacksquare$

Hình vẽ

Các bạn quan tâm hãy tiếp tục đưa ra lời giải!

[thaibuithd2001]

Cách mình tương tự cách Bảo

đầu tiên cũng chứng minh $XYZT$ là hình chữ nhật (1)

$\widehat{DKZ}=\widehat{KDZ}$

$\widehat{KAZ^{'}}=\widehat{KDZ}$

$\widehat{DKZ}+\widehat{AKZ^{'}}=90^{\circ}$

Từ trên suy ra $ZZ^{'} \perp AB$ 

Tương tự $YY^{'} \perp AD$

Theo hệ thức lượng trong 2 tam giác $AKD$ và $AKB$ thì $AZ^{'}.AB=AY^{'}.AD=AK^2$ <=> $AZ^{'}.AX=AY^{'}.AT$ ($AB=2AX$ và $AD=2AT$)

=> Tứ giác $Y^{'}Z^{'}XT$ nội tiếp (2) , chứng minh tương tự ta cũng được $XT^{'}YZ^{'}$ nội tiếp (3) ,

Từ (1)(2) và (3) suy ra $T,Y^{'},Z^{'},X,T^{'},Y$ cùng thuộc một đường tròn 

Tương tự ta suy ra đpcm. $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaibuithd2001: 02-04-2016 - 06:50