Chủ đề này có 3 trả lời

[Hannie]

Tính $\frac{1}{1^{4}+1^{2}+1}+\frac{2}{2^{4}+2^{2}+1}+...+\frac{2014}{2014^{4}+2014^{2}+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hannie: 02-04-2016 - 15:13

[le truong son]

Tính $\frac{1}{1^{4}+1^{2}+1}+\frac{2}{2^{4}+2^{2}+1}+...+\frac{2014}{2014^{4}+2014^{2}+1}$

Chú ý:$\frac{a}{a^4+a^2+1}= \frac{a}{(a^2-a+1)(a^2+a+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{a^2-a+1}-\frac{1}{a^2+a+1})$

[O0NgocDuy0O]

dễ 

 

nhác thôi 

Còn spam kiểu đấy coi chừng bị treo nick đấy     

 

Tính $\frac{1}{1^{4}+1^{2}+1}+\frac{2}{2^{4}+2^{2}+1}+...+\frac{2014}{2014^{4}+2014^{2}+1}$

Ta nhận xét: $a^{4}+a^{2}+1=(a^{2}+1)^{2}-a^{2}=(a^{2}-a+1)(a^{2}+a+1).$ Do vậy: $\frac{1}{1^{4}+1^{2}+1}+\frac{2}{2^{4}+2^{2}+1}+...+\frac{2014}{2014^{4}+2014^{2}+1}=\frac{1}{(1^{2}-1+1)(1^{2}+1+1)}+\frac{2}{(2^{2}-2+1)(2^{2}+2+1)}+...+\frac{2014}{(2014^{2}-2014+1)(2014^{2}+2014+1)}=\frac{1}{1.3}+\frac{2}{3.7}+...+\frac{2014}{4054183.4058211}=\frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{4054183}-\frac{1}{4058211})=\frac{1}{2}.\frac{4058210}{4058211}.$

[NDT2002]

Ta nhận xét: a4+a2+1=(a2+1)2−a2=(a2−a+1)(a2+a+1).a4+a2+1=(a2+1)2−a2=(a2−a+1)(a2+a+1). Do vậy: 114+12+1+224+22+1+...+201420144+20142+1=1(12−1+1)(12+1+1)+2(22−2+1)(22+2+1)+...+2014(20142−2014+1)(20142+2014+1)=11.3+23.7+...+20144054183.4058211=12(11−13+13−17+...+14054183−14058211)=12.40582104058211.