Chủ đề này có 1 trả lời

[bachmahoangtu2003]

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn,BC cố định,đường cao AD,BE,CF.EF cắt BC tại P.Đường thẳng qua D và song song với EF cắt AC ở R và cắt AB ở Q.CMR: đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua trung điểm BC.

P/s: em mới học lớp 9 nên không được sử dụng định lí Ceva hay Menelaus

[vkhoa]

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn,BC cố định,đường cao AD,BE,CF.EF cắt BC tại P.Đường thẳng qua D và song song với EF cắt AC ở R và cắt AB ở Q.CMR: đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua trung điểm BC.

P/s: em mới học lớp 9 nên không được sử dụng định lí Ceva hay Menelaus

Gọi H là trực tâm tg ABC
AP cắt đ tròn ngoại tiếp ABC tại N
gọi G là trung điểm BC
ta có $\widehat{QBD} =\widehat{CEP} =\widehat{CRD}$
=>$\triangle QBD \sim\triangle CRD$ (g, g)
=>$\frac{QD}{CD} =\frac{BD}{RD}$ <=>DQ .DR =DB .DC (1)
có $\triangle BDH \sim\triangle ADC$ (g, g)
=>$\frac{DB}{DA} =\frac{DH}{DC}$ <=>DB .DC =DH .DA (2)
có $\widehat{EGF} =2\widehat{ACF} =\widehat{ACF} +\widehat{ABE} =\widehat{EDH} +\widehat{FDH} =\widehat{EDF}$
=>EFDG nội tiếp =>$\triangle PFD \sim\triangle PGE$ (g, g)
=>$\frac{PD}{PE} =\frac{PF}{PG}$ <=>PD .PG =PE .PF (3)
có $\triangle PFB \sim\triangle PCE$ (g, g)
=>$\frac{PF}{PC} =\frac{PB}{PE}$ <=>PF .PE =PB .PC (4)
có $\triangle PBN \sim\triangle PAC$ (g, g)
=>$\frac{PB}{PA} =\frac{PN}{PC}$ <=>PB .PC =PA .PN (5)
từ (3, 4, 5) =>PA .PN =PD .PG <=>$\frac{PN}{PD} =\frac{PG}{PA}$
=>$\triangle PAD \sim\triangle PGN$ (c, g, c) =>ANDG nội tiếp =>GN$\perp$AP (6)
NG cắt đ tròn ngoại tiếp ABC tại I (7)
từ (6, 7) =>AI là đường kính =>IB //HC và IC //BH =>IBHC là hình bình hành
=>I, G, H, N thẳng hàng =>HG$\perp$AP =>$\triangle DHG \sim\triangle DPA$
=>$\frac{DH}{DP} =\frac{DG}{DA}$ <=>DH .DA =DP .DG (8)
từ (1, 2, 8) =>DQ .DR =DP .DG <=>$\frac{DQ}{DP} =\frac{DG}{DR}$
=>$\triangle DQG \sim\triangle DPR$ (c, g, c)
=>PQGR nội tiếp (đpcm)

Hình gửi kèm

•