2 replies to this topic

[nguyenchithanh1199]

Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB  và CD. Biết đường tròn đường kính CD đi qua trung điểm của các cạnh AD,BC và tiếp xúc AB. Số đo góc A bằng...độ.

[Laxus]

gọi O là trung điểm CD, đường tròn (O) qua M và N là trung điểm của AD và BC, (O) tiếp xúc với AB tại P, MN cắt OP tại K 
do AB tiếp xúc với (O) nên OP_|_AB => MN // AB // CD 
định lí thales => K cũng là trung điểm OP 
tgiác MOP có MK là đường cao cũng là trung tuyến => $\Delta$MOP cân tại M 

mặt khác: OM = OP = R =>  $\Delta$MOP đều => $\widehat{MOP}$= $60^{\circ}$ = sđ cung MP 

=> $\widehat{MDP}$ = $30^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn cung $60^{\circ}$) 

ta cũng có $\Delta$ODP vuông cân => $\widehat{PDO}$ = $45^{\circ}$ 
=> $\widehat{ADC}$ = $\widehat{MDP}$ + $\widehat{PDO}$ = $30^{\circ}$ + $45^{\circ}$ = $75^{\circ}$
=> $\widehat{BAD}$ = $180^{\circ}$-$75^{\circ}$ = $105^{\circ}$ 

tương tự ta sẽ có: 
$\widehat{ADC}$ = $\widehat{BDC}$ = $75^{\circ}$
$\widehat{BAD}$ = $\widehat{ABC}$ = $105^{\circ}$

[12345678987654321123456789]

Gọi trung điểm $AD$,$BC$,$CD$ lần lượt là $M$,$N$,$O$

$(O)$ tiếp xúc $AB$ tại $Q$

$OQ$ cắt $MN$ tại $P$

Dễ thấy $MN$ là đường trung bình của tam giác nên $MN$ song song với $AB$ và $CD$

Do đó cung $MD$ bằng cung $NC$, dẫn đến $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$, suy ra ABCD là hình thang cân

Xét hình thang $AQOD$ có $MP$ là đường trung bình (dễ chứng minh)

$OP=\frac{1}{2}OQ=\frac{1}{2}OM$

Do đó $\widehat{QOM}=\arccos \frac{OP}{OM}=\arccos \frac{1}{2}=60^{\circ}\Rightarrow \widehat{DOM}=30^{\circ}$

Tam giác $DOM$ cân tại $O$ nên tính được $\widehat{ADC}=75^{\circ}\Rightarrow \widehat{BAD}=105^{\circ}$

Edited by 12345678987654321123456789, 05-04-2016 - 15:36.