Chủ đề này có 1 trả lời

[binh9adt]

Câu 5: Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2=x^{2}y^{2}z^{2}$.

           Chứng minh rằng $xyz(x+y+z)\geq 2(xy+yz+zx)$.

# Thảo luận về đề thi HSG 11 tỉnh Hà Tĩnh 2015- 2016 tại đây.

[dark templar]

Từ ĐK đề bài cho,tồn tại các số $a,b,c>0$ sao cho $x=\sqrt{\frac{a+b}{c}};y=\sqrt{\frac{b+c}{a}};z=\sqrt{\frac{c+a}{b}}$.

 

Do đó BĐT cần chứng minh trở thành:

$$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geqslant 2\left ( \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right )$$

 

Ta có:

$$\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}\geqslant \sum \frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{2a}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum \left ( \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}} \right )\geqslant \sqrt{2}\sum \sqrt{\frac{b}{\sqrt{ac}}}\geqslant 2\sum \sqrt{\frac{b}{a+c}}$$

 

Ta có đpcm.