Chủ đề này có 9 trả lời

[hoakute]

Bài 1: Giải phương trình:

$x^{3}+y^{3}+4(x^{2}+y^{2})+4(x+y)=16xy$

 

Bài 2:Tìm các số tự nhiên n sao cho số    $n^{2017}+n^{2015}+1$ là số nguyên tố.

 

Bài 3:Cho đa thức $f(x)=x^{2}+px+q$ (p, q là các số nguyên). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để   $f(k)=f(2014).f(2015)$

 

Bài 4: Chứng minh rằng trong 15 số tự nhiên lớn hơn 1 không vượt quá 2004 và đôi một nguyên tố cùng nhau tìm được một số là số nguyên tố.

 

Bài 5 :Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự ở A', B', C'.

Cho $M= \frac{OA}{OA'}+\frac{OB}{OB'}+\frac{OC}{OC'}$ . Tìm GTNN của M.

 

Bài 6: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và a+b+c=3.

Tìm GTNN của $Q=3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}+4abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoakute: 05-04-2016 - 21:20

[lenadal]

6. Sử dụng di-rich-le luôn có 2 trong 3 số a;b;c cùng lớn hặc nhở hơn bằng 1

giả sử đó là a;b

khi đó $(a-1)(b-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow abc\geq 2c-c^{2}$

Thay vào ta được $Q\geq 13$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenadal: 05-04-2016 - 21:26

[hoakute]

6. Sử dụng di-rich-le luôn có 2 trong 3 số a;b;c cùng lớn hặc nhở hơn bằng 1

giả sử đó là a;b

khi đó $(a-1)(b-1)\geq 0$$\Leftrightarrow abc\geq 2c-c^{2}$

Thay vào ta được $Q\geq 13$

LATEX rõ hộ mk với

[frozen2501]

G/sử tất cả chúng là hợp số .Gọi pi là ước nguyên tố nhỏ nhất của ni ( i=1;2;3..;15). Gọi p là số lớn nhất trong các số p1,p2,…,p15 . Do các số n1,n2,…,n15 đôi một nguyên tố cùng nhau nên các số p1,p2,…,p15 khác nhau tất cả.
Số nguyên tố thứ 15 là số 47, ta có $p\geq 47$
Đối với số n có ước nguyên tố nhỏ nhất là p thì $p\leq \sqrt{n}$
Suy ra $n\geq p^{2}\geq 47^{2}> 2004$ , vô lý

Vậy trong 15 số n1,n2,…,n15 tìm được một số nguyên tố.

[12345678987654321123456789]

Bài 5 :Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự ở A', B', C'.

Cho $M= \frac{OA}{OA'}+\frac{OB}{OB'}+\frac{OC}{OC'}$ . Tìm GTNN của M.

Bổ đề. $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$ với mọi $a,b$ dương. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b$

 

Gọi $\left\{\begin{matrix} S_{BOC}=S_1\\ S_{AOC}=S_2\\ S_{AOB}=S_3\\ S_{ABC}=S \end{matrix}\right.$

Từ $O$ và $A$ lần lượt kẻ $OH$ và $AK$ vuông góc với $BC$ ($H,K$ thuộc $BC$)

$\frac{S}{S_1}=\frac{AK}{OH}=\frac{AA'}{OA'}\Leftrightarrow \frac{OA}{OA'}=\frac{S_2+S_3}{S_1}$

Do đó $M=\frac{S_2+S_3}{S_1}+\frac{S_1+S_3}{S_2}+\frac{S_1+S_2}{S_3}=\left ( \frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_1} \right )+\left ( \frac{S_2}{S_3}+\frac{S_3}{S_2} \right )+\left ( \frac{S_1}{S_3}+\frac{S_3}{S_1} \right )\geq 2+2+2=6$

Vậy $Min\;M=6$ khi và chỉ khi $S_1=S_2=S_3$

[lenadal]

CM được dễ dàng chứng minh được $f(f(x)+x)=f(x)f(x+1)$ bằng cách thay dạng vào

=> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenadal: 05-04-2016 - 21:46

[frozen2501]

CM được 

$f(f(x)+x)=f(x)f(x+1)$

=> đpcm

nói tke làm sao người khác hiểu được, bạn Văn

[hoakute]

 

CM được
$f(f(x)+x)=f(x)f(x+1)$
=> đpcm

ý bạn là ntn à?
$f[f(x)+x]=[f(x)+x]^{2}+ p(f(x)+x)+q=f^{2}(x)+2xf(x)+x^{2}+pf(x)+px+q=f(x)[(x+1)^{2}+p(x+1)+q]=f(x)f(x+1)$

 

 

ý bạn là ntn à?
$f[f(x)+x]=[f(x)+x]^{2}+ p(f(x)+x)+q=f^{2}(x)+2xf(x)+x^{2}+pf(x)+px+q=f(x)[(x+1)^{2}+p(x+1)+q]=f(x)f(x+1)$

lenadal: yes bạn đúng rồi like cái nào

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 05-04-2016 - 22:01

[tpdtthltvp]

 

Bài 2:Tìm các số tự nhiên n sao cho số    $n^{2017}+n^{2015}+1$ là số nguyên tố.

 

Bổ đề: Với mọi số tự nhiên $a,b$ thì:

$$n^{3a+1}+n^{3b+2}+1\vdots n^2+n+1$$

Áp dụng bổ đề vào suy ra để $n^{2017}+n^{2015}+1$ là số nguyên tố thì: 

$+)n^2+n+1=1\Leftrightarrow n(n+1)=0\Rightarrow n=0$ suy ra $A=1(L)$

$+)n^{3a+1}+n^{3b+2}+1=n^2+n+1$ là số nguyên tố.

$\Leftrightarrow n^2(n^{3b}-1)+n(n^{3a}-1)=0$

Mà $n,n^2,n^{3b}-1,n^{3a}-1\geq 0, \forall n,a,b\in N$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \begin{bmatrix} n=0 \\ n^{3b}=1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} n=0 \\ n^{3a}=1 \end{bmatrix} \end{matrix}\right.\Rightarrow n=1$

hoặc cũng có thể xét TH như bạn lenadal ở dưới.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 05-04-2016 - 22:22

[lenadal]

bạn có thể đi xét trường hợp 

với n=o

với n=1

với n>1 thì như phần bổ đề của bạn tpdtthltvp