Chủ đề này có 1 trả lời

[PhanLocSon]

Tam giác ABC ko cân,$ (I) $ nội tiếp tiếp xúc $ BC,CA,AB$ tại $A_0,B_0,C_0$. $A_1,B_1,C_1$ theo thứ tự là ảnh của $A_0,B_0,C_0$ qua $R_{AI}, R_{BI}, R_{CI}$. $A_2,B_2,C_2$ lần lượt là trung điểm của $ BC,CA,AB$. Chứng minh rằng $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2 $ đồng quy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanLocSon: 07-04-2016 - 10:19

[dogsteven]

Dễ thấy $A_1, B_1, C_1\in (I)$. Gọi $A'$ là giao điểm của $AI$ và $BC$. Gọi $H, O$ là trực tâm và tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Gọi $N, N'$ là trung điểm $OH, AH$ và $A_2x$ là tiếp tuyến tại $A_2$ của đường tròn Euler tam giác ABC.

Khi đó $A'A_1$ là tiếp tuyến của $(I)$. Khi đó: $\widehat{A_1A'A_2}=\widehat{A_0IA_1}=\widehat{HAO}=\widehat{HN'N}=\widehat{xA_2C}$

Do đó $IA_1 || NA_2$, tương tự ta có $IB_1 || NB_2, IC_1 || NC_2$

Giả sử $NI$ cắt $A_1A_2$ tại $T$, khi đó $\dfrac{TI}{TN}=\dfrac{2r}{R}=\dfrac{IB_1}{NB_2}=\dfrac{IC_1}{NC_2}$

Do đó $T,B_1,B_2$ thẳng hàng và $T, C_1,C_2$ thẳng hàng nên các đường trên đồng quy tại $T$