Chủ đề này có 2 trả lời

[leminhnghiatt]

Bài toán: 

 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường $(C_1)$ có phương trình $x^2+y^2=25$, điểm $M(1;-2)$. Đường tròn $(C_2)$ có bán kính bằng $2\sqrt{10}$. Tìm tọa độ tâm của đường tròn $(C_2)$, sao cho $(C_2)$ cắt $(C_1)$ theo một dây cung qua $M$ có độ dài nhỏ nhất

[vkhoa]

Bài toán: 

 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường $(C_1)$ có phương trình $x^2+y^2=25$, điểm $M(1;-2)$. Đường tròn $(C_2)$ có bán kính bằng $2\sqrt{10}$. Tìm tọa độ tâm của đường tròn $(C_2)$, sao cho $(C_2)$ cắt $(C_1)$ theo một dây cung qua $M$ có độ dài nhỏ nhất

$ $Tồn tại đường tròn $(C_2)$thỏa điều kiện trên khi dây cung nhỏ nhất qua M của $(C_1)$có độ dài không lớn hơn đường kính $(C_2) $
Kẻ dây cung CD qua M của $(C_1)$, kẻ dây cung AB qua M của $(C_1)$ và vuông góc OM
hạ OH vuông góc CD tại H
ta có $ CD^2 =4CH^2 =4(OC^2 -OH^2)\geq 4(OC^2 -OM^2) $
$ \Rightarrow $ dây cung CD qua M nhỏ nhất khi nó vuông góc OM hay $ CD\equiv AB $
pt tham số của dây cung trên là
$ \left\{\begin{matrix}x =1 +2t\\y =-2 +t\end{matrix}\right. $
=>tọa độ điểm A, B  là (-3, -4) và (5, 0)
=>độ dài cung AB =$4\sqrt{5}<4\sqrt{10}$
=>$ $tồn tại $(C_2) $
tâm O' của $C_2$ sẽ nằm trên OM sao cho $O'A =2\sqrt{10}$
 pt tham số của OM là
$\left\{\begin{matrix}x =t\\y=-2t\end{matrix}\right.$
=>O' =$(-1, 2)$ hoặc O'=$ (3, -6) $

[leminhnghiatt]

$ $Tồn tại đường tròn $(C_2)$thỏa điều kiện trên khi dây cung nhỏ nhất qua M của $(C_1)$có độ dài không lớn hơn đường kính $(C_2) $
Kẻ dây cung CD qua M của $(C_1)$, kẻ dây cung AB qua M của $(C_1)$ và vuông góc OM
hạ OH vuông góc CD tại H
ta có $ CD^2 =4CH^2 =4(OC^2 -OH^2)\geq 4(OC^2 -OM^2) $
$ \Rightarrow $ dây cung CD qua M nhỏ nhất khi nó vuông góc OM hay $ CD\equiv AB $
pt tham số của dây cung trên là
$ \left\{\begin{matrix}x =1 +2t\\y =-2 +t\end{matrix}\right. $
=>tọa độ điểm A, B  là (-3, -4) và (5, 0)
=>độ dài cung AB =$4\sqrt{5}<4\sqrt{10}$
=>$ $tồn tại $(C_2) $
tâm O' của $C_2$ sẽ nằm trên OM sao cho $O'A =2\sqrt{10}$
 pt tham số của OM là
$\left\{\begin{matrix}x =t\\y=-2t\end{matrix}\right.$
=>O' =$(-1, 2)$ hoặc O'=$ (3, -6) $

 

đây ạ ( cách của thầy em)