Chủ đề này có 2 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán : Tìm $m$ để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt :$$\left | \left | x \right |^3 -3\left | x \right | \right | =\frac{4}{m^3-1}$$

[chanhquocnghiem]

Bài toán : Tìm $m$ để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt :$$\left | \left | x \right |^3 -3\left | x \right | \right | =\frac{4}{m^3-1}$$

Đặt $u=\left | x \right |$ ($u\geqslant 0$) , ta có $\left | u^3-3u \right |=\frac{4}{m^3-1}$ (*)

Bài toán trở thành : Tìm $m$ để (*) có $3$ nghiệm dương phân biệt.

Xét hàm số $f(u)=\left | u^3-3u \right |$ trên $\left [ 0;+\infty \right )$, ta có :

$f(u)=\left\{\begin{matrix}3u-u^3\ neu\ u\in \left [ 0;\sqrt{3} \right ]\\u^3-3u\ neu\ u\in \left ( \sqrt{3};+\infty \right ) \end{matrix}\right.$

Khảo sát hàm $f(u)$ bằng đạo hàm trên $\left [ 0;+\infty \right )$, ta thấy :

+ Trên $[0;1]$, $f(u)$ đơn điệu tăng từ $0$ đến $2$

+ Trên $\left [ 1;\sqrt{3} \right ]$, $f(u)$ đơn điệu giảm từ $2$ đến $0$

+ Trên $\left [ \sqrt{3};+\infty \right )$, $f(u)$ đơn điệu tăng từ $0$ đến $+\infty$

$\Rightarrow$ ĐK để (*) có $3$ nghiệm dương phân biệt là 

$0< \frac{4}{m^3-1}< 2$ hay $m\in \left ( \sqrt[3]{3};+\infty \right )$

 

--------------------------------------------------

@ caybutbixanh :

Khi đặt $u=\left | x \right |$ ($u\geqslant 0$) , ta có $\left | u^3-3u \right |=\frac{4}{m^3-1}$ (*)

Bài toán trở thành : Tìm $m$ để (*) có $3$ nghiệm dương phân biệt.

Bởi vì nếu (*) có $3$ nghiệm dương phân biệt $u_1,u_2,u_3$ thì phương trình đã cho sẽ có $6$ nghiệm phân biệt là $\pm u_1$ ; $\pm u_2$ ; $\pm u_3$ (vì $u=\left | x \right |$).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 10-04-2016 - 15:58

[caybutbixanh]

Đặt $u=\left | x \right |$ ($u\geqslant 0$) , ta có $\left | u^3-3u \right |=\frac{4}{m^3-1}$ (*)

Bài toán trở thành : Tìm $m$ để (*) có $3$ nghiệm dương phân biệt.

Xét hàm số $f(u)=\left | u^3-3u \right |$ trên $\left [ 0;+\infty \right )$, ta có :

$f(u)=\left\{\begin{matrix}u^3-3u\ neu\ u\in \left [ 0;\sqrt{3} \right ]\\3u-u^3\ neu\ u\in \left ( \sqrt{3};+\infty \right ) \end{matrix}\right.$

Khảo sát hàm $f(u)$ bằng đạo hàm trên $\left [ 0;+\infty \right )$, ta thấy :

+ Trên $[0;1]$, $f(u)$ đơn điệu tăng từ $0$ đến $2$

+ Trên $\left [ 1;\sqrt{3} \right ]$, $f(u)$ đơn điệu giảm từ $2$ đến $0$

+ Trên $\left [ \sqrt{3};+\infty \right )$, $f(u)$ đơn điệu tăng từ $0$ đến $+\infty$

$\Rightarrow$ ĐK để (*) có $3$ nghiệm dương phân biệt là 

$0< \frac{4}{m^3-1}< 2$ hay $m\in \left ( \sqrt[3]{3};+\infty \right )$

Chú ơi cháu không hiểu lắm...tại sao từ 6 nghiệm phân biệt trở thành 3 nghiệm phân biệt sau khi đặt $u=\left | x \right | (u\geqslant 0$