1 reply to this topic

[anhtukhon1]

Cho $(O;R)$, hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau. $E$ là một điểm trên cung nhỏ $AD$ ( $E$ không trùng với $A$ và $D$). Nối $EC$ cắt $OA$ tại $M$; Nối $EB$ cắt $OD$ tại $N$.

Xác định vị trí E để $\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{DN}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

[githenhi512]

Xét (O) có 2 đk AB và CD nên ACBD là HV.

$\bigtriangleup COM~\bigtriangleup CED(g-g)$

$\Rightarrow \frac{CO}{CE}=\frac{OM}{ED}$(1)

$\bigtriangleup AMC~\bigtriangleup EAC(g-g)$

$\Rightarrow \frac{AC}{CE}=\frac{AM}{AE}$

Mà AC=$\sqrt{2}CO\Rightarrow \frac{AM}{AE}=\frac{\sqrt{2}CO}{CE}=\frac{\sqrt{2}OM}{ED}(do(1))$

$\Rightarrow \frac{OM}{AM}=\frac{ED}{\sqrt{2}EA}$

T²: $\frac{ON}{DN}=\frac{EA}{\sqrt{2}DE}$

Dđ: $\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{DN}\geq \sqrt{2}$

Dấu ''='' xr $\Leftrightarrow \frac{OM}{AM}=\frac{ON}{DN}$

$\Leftrightarrow \frac{ED}{\sqrt{2}EA}=\frac{EA}{\sqrt{2}ED}\Leftrightarrow ED=EA$

$\Leftrightarrow$ E là điểm chính giữa của cung AD nhỏ.