1 reply to this topic

[phamquangnhatanh]

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC. Tia Dx bất kì cắt AC, AB, BC lần lượt tại I,M,N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng với D qua I. CMR:

a) IM.IN=ID²

b) $\frac{KM}{KN}=\frac{DM}{DN}$

c) AB.AE + AD.AF = AC²

[vkhoa]

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC. Tia Dx bất kì cắt AC, AB, BC lần lượt tại I,M,N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng với D qua I. CMR:

a) IM.IN=ID²

b) $\frac{KM}{KN}=\frac{DM}{DN}$

c) AB.AE + AD.AF = AC²

a)
Ta có $\frac{IM}{ID} =\frac{IA}{IC}$ (vì AM //CD) (1)
có $\frac{ID}{IN} =\frac{IA}{IC}$ (vì AD //CN) (2)
từ (1, 2)$\Rightarrow\frac{IM}{ID} =\frac{ID}{IN}$
$\Leftrightarrow IM .IN =ID^2$
b)
có $\frac{DM}{DN} =\frac{DM}{DM +MN}$
$=\frac{AD}{AD +NB} =\frac{AD}{CN}$
$=\frac{ID}{IN} =\frac{2 .ID}{2 .IN}$
$=\frac{KD}{KD +2 .NK}$
$\Leftrightarrow \frac{DM}{DN} =\frac{KD}{DN +NK}$
$=\frac{KD -DM}{DN +NK -DN} =\frac{KM}{KN}$ (đpcm)
c)
lần lượt hạ BG, DH vuông góc AC tại G, H
có $\triangle AHD =\triangle CGB$ (g, c, g)
$\Rightarrow AH =CG$ (3)
có $\triangle AGB\sim\triangle AEC$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{AB}{AC} =\frac{AG}{AE}$
$\Leftrightarrow AB .AE =AG .AC$ (4)
có $\triangle AHD\sim\triangle AFC$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{AD}{AC} =\frac{AH}{AF}$
$\Leftrightarrow AD .AF =AH .AC$ (5)
từ (4, 5)$\Rightarrow AB .AE +AD .AF =(AG +AH) .AC =(AG +CG) .AC$ (vì có (3))
$=AC^2$ (đpcm)

Attached Images

•