Chủ đề này có 7 trả lời

[binhbo]

Cho a,b,c >0 : abc=1. Cm:

$\frac{1}{1+a+b^{2}}+\frac{1}{1+b+c^{2}}+\frac{1}{1+c+a^{2}}\leq 1$

[Dark Magician 2k2]

Cho a,b,c >0 : abc=1. Cm:

$\frac{1}{1+a+b^{2}}+\frac{1}{1+b+c^{2}}+\frac{1}{1+c+a^{2}}\leq 1$

Áp dụng bất dẳng thức $C-S$ có

$\frac{1}{1+a+b^2}\leq\frac{a+c+1}{(a+b+c)^2}$

Suy ra

$\sum\frac{1}{1+a+b^2}\leq\frac{2(a+b+c)+3}{(a+b+c)^2}$

Hay cần chứng minh 

$\frac{2(a+b+c)+3}{(a+b+c)^2}\leq 1$

$\Leftrightarrow (a+b+c+1)(a+b+c-3)\geq 0$

Vậy ta có $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Magician 2k2: 11-04-2016 - 22:09

[NTA1907]

Áp dụng bất dẳng thức $C-S$ có

$\frac{1}{1+a+b^2}\leq\frac{a+c+1}{(a+b+c)^2}$

Suy ra

$\sum\frac{1}{1+a+b^2}\leq\frac{2(a+b+c)+3}{(a+b+c)^2}$

Hay cần chứng minh 

$\frac{2(a+b+c)+3}{(a+b+c)^2}\leq 1$

$\Leftrightarrow (a+b+c+1)(a+b+c-3)\geq 0$

Vậy ta có $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 11-04-2016 - 22:14

[Dark Magician 2k2]

Đoạn màu đỏ là $a+c^{2}+1$ chứ bạn?

Vì $a,b,c>0$ và $abc=1$ nên $c\leq 1$, do đó $c^2\leq c$ chứ nhỉ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Magician 2k2: 11-04-2016 - 22:14

[binhbo]

bạn ơi $c\leq 1$ thì chưa chắc $a,b\leq 1$

[kieutuanduc]

Nếu a= 1/2 , b= 1 c=2 thì c( bình) đâu nhỏ hơn c mà bạn????

[tquangmh]

Áp dụng bất dẳng thức $C-S$ có

$\frac{1}{1+a+b^2}\leq\frac{a+c+1}{(a+b+c)^2}$

Suy ra

$\sum\frac{1}{1+a+b^2}\leq\frac{2(a+b+c)+3}{(a+b+c)^2}$

Hay cần chứng minh 

$\frac{2(a+b+c)+3}{(a+b+c)^2}\leq 1$

$\Leftrightarrow (a+b+c+1)(a+b+c-3)\geq 0$

Vậy ta có $Q.E.D$

 

_ Bài của bạn hay thật. Tuy nhiên một vài chỗ mình chưa hiểu :

* Nếu a = b = c = 1 thì dấu bằng xảy ra, không kể.

* Nếu a < 1, b = 1, c > 1 ví dụ như số của bạn kieutuanduc (a = 0.5; b = 1; c = 2) thì rõ ràng không có :

$\sum \frac{1}{1+a+b^{2}} \leq \frac{2(a+b+c)+3}{(a+b+c)^{2}}$

do

$\frac{1}{1+c+a^{2}}\leq \frac{1+b+c}{(a+b+c)^{2}}\Leftrightarrow \frac{1}{1+2+0.5^{2}}\leq \frac{1+1+2}{(0.5+1+2)^{2}}\Leftrightarrow \frac{4}{13}\leq \frac{4}{49}(vô lí)$

 

Tuy nhiên mình nghĩ hướng bài này là vận dụng Cauchy-Schwarz.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 12-04-2016 - 11:30

[manhbbltvp]

Nếu a= 1/2 , b= 1 c=2 thì c( bình) đâu nhỏ hơn c mà bạn????

c$\leq 1$ mà có phải c$\geq 1$ đâu mà đáng nhẽ phải vặn chỗ abc=1 nênc$\leq$ 1$ chứ