Chủ đề này có 2 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán : Chứng minh rằng $1-\frac{C_n^1}{3}+\frac{C_n^2}{5}+...+\frac{(-1)^n.C_n^n}{2n+1}=\frac{2.4.6..2n}{1.3.5..(2n+1)} ;\forall n \in \mathbb{N}$

[chanhquocnghiem]

Bài toán : Chứng minh rằng $1-\frac{C_n^1}{3}+\frac{C_n^2}{5}+...+\frac{(-1)^n.C_n^n}{2n+1}=\frac{2.4.6..2n}{1.3.5..(2n+1)} ;\forall n \in \mathbb{N}$

Ta có : $(1-x^2)^n=1-C_{n}^{1}x^2+C_{n}^{2}x^4-C_n^3x^6+...+(-1)^nC_n^nx^{2n}$

Lấy tích phân cả 2 vế từ $0$ đến $1$ :

Tích phân vế phải (từ $0$ đến $1$) bằng :

$\left [ x-\frac{C_n^1x^3}{3}+\frac{C_n^2x^5}{5}-\frac{C_n^3x^7}{7}+...+(-1)^n\frac{C_n^nx^{2n+1}}{2n+1} \right ]_0^1=$

$=1-\frac{C_n^1}{3}+\frac{C_n^2}{5}-\frac{C_n^3}{7}+...+(-1)^n\frac{C_n^n}{2n+1}$ (1)

Tích phân vế trái $I=\int_{0}^{1}(1-x^2)^ndx$

Đặt $x=\cos t\Rightarrow I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin t)^{2n+1}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}td(-\cos t)=I_{2n+1}$

Áp dụng phương pháp tích phân từng phần ta được :

$I_{2n+1}=2nI_{2n-1}-2nI_{2n+1}\Rightarrow I_{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}I_{2n-1}$

Tương tự, ta có $I_{2n-1}=\frac{2n-2}{2n-1}I_{2n-3}$ ; $I_{2n-3}=\frac{2n-4}{2n-3}I_{2n-5}$ ; ...

Ta có $I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin x=1$

$\Rightarrow I=I_{2n+1}=\frac{2.4.6...2n}{1.3.5...(2n+1)}$ (2)

Từ (1) và (2), ta có ĐPCM.

 

--------------------------------------------------------------

@ caybutbixanh :

Vì sao lại xét $(1-x^2)^n$ ?

Bởi vì "dễ" thấy rằng $1-\frac{C_n^1}{3}+\frac{C_n^2}{5}-\frac{C_n^3}{7}+...+(-1)^n\frac{C_n^n}{2n+1}$ chính là bằng $\int_{0}^{1} \left (1-C_{n}^{1}x^2+C_{n}^{2}x^4-C_n^3x^6+...+(-1)^nC_n^nx^{2n} \right )dx$ hay là bằng $\int_0^1 (1-x^2)^ndx$ 

(Chỉ cần nắm vững nhị thức Newton và làm nhiều bài tập tích phân sẽ "dễ" thấy thôi  )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 17-04-2016 - 22:17

[caybutbixanh]

Ta có : $(1-x^2)^n=1-C_{n}^{1}x^2+C_{n}^{2}x^4-C_n^3x^6+...+(-1)^nC_n^nx^{2n}$

Lấy tích phân cả 2 vế từ $0$ đến $1$ :

Tích phân vế phải (từ $0$ đến $1$) bằng :

$\left [ x-\frac{C_n^1x^3}{3}+\frac{C_n^2x^5}{5}-\frac{C_n^3x^7}{7}+...+(-1)^n\frac{C_n^nx^{2n+1}}{2n+1} \right ]_0^1=$

$=1-\frac{C_n^1}{3}+\frac{C_n^2}{5}-\frac{C_n^3}{7}+...+(-1)^n\frac{C_n^n}{2n+1}$ (1)

Tích phân vế trái $I=\int_{0}^{1}(1-x^2)^ndx$

Đặt $x=\cos t\Rightarrow I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin t)^{2n+1}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}td(-\cos t)=I_{2n+1}$

Áp dụng phương pháp tích phân từng phần ta được :

$I_{2n+1}=2nI_{2n-1}-2nI_{2n+1}\Rightarrow I_{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}I_{2n-1}$

Tương tự, ta có $I_{2n-1}=\frac{2n-2}{2n-1}I_{2n-3}$ ; $I_{2n-3}=\frac{2n-4}{2n-3}I_{2n-5}$ ; ...

Ta có $I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin x=1$

$\Rightarrow I=I_{2n+1}=\frac{2.4.6...2n}{1.3.5...(2n+1)}$ (2)

Từ (1) và (2), ta có ĐPCM.

 

 

Cháu không hiểu vì sao lại xét $(1-x^2)^n$