1 reply to this topic

[Truong Gia Bao]

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2-3b \leq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2}+\frac{8}{(c+3)^2}$

[Element hero Neos]

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2-3b \leq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2}+\frac{8}{(c+3)^2}$

Có 

$P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2}+\frac{8}{(c+3)^2}=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(\frac{b}{2}+1)^2}+\frac{8}{(c+3)^2}\geq \frac{8}{(a+\frac{b}{2}+2)^2}+\frac{8}{(c+3)^2}\geq \frac{64}{(a+\frac{b}{2}+c+5)^2}$

Lại có

$3b+6\geq (a^2+1)+(b^2+4)+(c^2+1)\geq 2a+4b+2c\Rightarrow 6\geq 2a+b+2c \Leftrightarrow a+\frac{b}{2}+c\leq 3$

Do đó suy ra $P\geq 1$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=2\\ c=1\end{matrix}\right.$

Edited by Element hero Neos, 18-04-2016 - 20:10.