Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2-3b \leq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2}+\frac{8}{(c+3)^2}$
$P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2}+\frac{8}{(c+3)^2}$
Bắt đầu bởi Truong Gia Bao, 18-04-2016 - 19:42
#2
Đã gửi 18-04-2016 - 20:02
Element hero Neos
-
- Thành viên
-
- 943 Bài viết
Trung úy
Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2-3b \leq 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2}+\frac{8}{(c+3)^2}$
Có
$P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2}+\frac{8}{(c+3)^2}=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(\frac{b}{2}+1)^2}+\frac{8}{(c+3)^2}\geq \frac{8}{(a+\frac{b}{2}+2)^2}+\frac{8}{(c+3)^2}\geq \frac{64}{(a+\frac{b}{2}+c+5)^2}$
Lại có
$3b+6\geq (a^2+1)+(b^2+4)+(c^2+1)\geq 2a+4b+2c\Rightarrow 6\geq 2a+b+2c \Leftrightarrow a+\frac{b}{2}+c\leq 3$
Do đó suy ra $P\geq 1$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=2\\ c=1\end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 18-04-2016 - 20:10
- Truong Gia Bao, ineX, Unstopable và 2 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
