Chủ đề này có 4 trả lời

[tieumynu309]

tam giác ABC có $AB> BC$ . BE là phân giác và BD là trung tuyến của tam giác. đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G và K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng:

   a) M là trung điểm của đoạn thẳng BC

   b) $\frac{DA}{DE}=1+\frac{BK}{DF}$

   c) đường thẳng GE song song với đường thẳng BC
* chú ý: đề này là đề thi học sinh giỏi nên không sai đề đâu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieumynu309: 20-04-2016 - 19:58

[tquangmh]

Tam giác ABC có $AB > BC$ . BE là phân giác và BD là trung tuyến của tam giác. đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G và K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng:

   a) M là trung điểm của đoạn thẳng BC

   b) $\frac{DA}{DE}=1+\frac{BK}{DF}$

   c) Đường thẳng GE song song với đường thẳng BC

a) 

_ $\Delta BCK$ có : $BF$ vừa là đường cao, vừa là phân giác nên $\Delta BCK$ cân tại B $\Rightarrow BC=BK$ và $\Rightarrow BF$ là trung tuyến $\Rightarrow CF=FK$.

_ $\Delta CKA$ có : $CF=FK ;CD=DA$ $\Rightarrow FD$ là đtb $\Rightarrow FD//AB\Leftrightarrow MD//AB$ mà $CD=DA$ nên M là trung điểm BC.

 

b) 

_ Có : 

$\frac{DA}{DE}=1+\frac{BK}{DF}\Leftrightarrow \frac{CD}{DE}=1+\frac{BK}{DF}\Leftrightarrow \frac{CE+ED}{ED}=1+\frac{BK}{DF}$

$\Leftrightarrow \frac{CE}{ED}+1=1+\frac{BK}{DF}\Leftrightarrow \frac{CE}{ED}=\frac{BK}{DF}$

 

_ Vậy ta cần chứng minh : $\frac{CE}{ED}=\frac{BK}{DF}$

 

_ Có : $BE$ là phân giác nên : $\frac{CE}{BC}=\frac{EA}{AB}=\frac{EA-EC}{AB-BC}=\frac{(ED+AD)-(CD-ED)}{AB-BK}=\frac{2ED}{KA}$

$\Rightarrow \frac{CE}{ED}=\frac{2BC}{KA}=\frac{2BK}{KA}$  $(1)$

_ Theo phần trình bày ở câu a), ta chứng minh được : 

$KA=2DF(đtb)$ $\Leftrightarrow \frac{2}{KA}=\frac{1}{DF}\Leftrightarrow \frac{2BK}{KA}=\frac{BK}{DF}$  $(2)$

_ Từ (1) và (2), suy ra : $\frac{CE}{ED}=\frac{BK}{DF}$, ta có đpcm

 

c) _ Theo Kết quả câu a), ta có : $FD//BK\Rightarrow \frac{FD}{BK}=\frac{GD}{GB}$ (Ta-lét)

_ Mà theo kết quả câu b), có : $\frac{ED}{CE}=\frac{DF}{BK}$

nên $\frac{GD}{GB}=\frac{ED}{CE}$ 

_ Theo Ta-lét đảo, ta có : $GE//BC$

 

P/S : Mình quên vẽ điểm K, bạn chịu khó đọc ...   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 20-04-2016 - 23:00

[tieumynu309]

w.JPG

a) 

_ $\Delta BCK$ có : $BF$ vừa là đường cao, vừa là phân giác nên $\Delta BCK$ cân tại B $\Rightarrow BC=BK$ và $\Rightarrow BF$ là trung tuyến $\Rightarrow CF=FK$.

_ $\Delta CKA$ có : $CF=FK ;CD=DA$ $\Rightarrow FD$ là đtb $\Rightarrow FD//AB\Leftrightarrow MD//AB$ mà $CD=DA$ nên M là trung điểm BC.

 

b) 

_ Có : 

$\frac{DA}{DE}=1+\frac{BK}{DF}\Leftrightarrow \frac{CD}{DE}=1+\frac{BK}{DF}\Leftrightarrow \frac{CE+ED}{ED}=1+\frac{BK}{DF}$

$\Leftrightarrow \frac{CE}{ED}+1=1+\frac{BK}{DF}\Leftrightarrow \frac{CE}{ED}=\frac{BK}{DF}$

 

_ Vậy ta cần chứng minh : $\frac{CE}{ED}=\frac{BK}{DF}$

 

_ Có : $BE$ là phân giác nên : $\frac{CE}{BC}=\frac{EA}{AB}=\frac{EA-EC}{AB-BC}=\frac{(ED+AD)-(CD-ED)}{AB-BK}=\frac{2ED}{KA}$

$\Rightarrow \frac{CE}{ED}=\frac{2BC}{KA}=\frac{2BK}{KA}$  $(1)$

_ Theo phần trình bày ở câu a), ta chứng minh được : 

$KA=2DF(đtb)$ $\Leftrightarrow \frac{2}{KA}=\frac{1}{DF}\Leftrightarrow \frac{2BK}{KA}=\frac{BK}{DF}$  $(2)$

_ Từ (1) và (2), suy ra : $\frac{CE}{ED}=\frac{BK}{DF}$, ta có đpcm

 

c) _ Theo Kết quả câu a), ta có : $FD//BK\Rightarrow \frac{FD}{BK}=\frac{GD}{GB}$ (Ta-lét)

_ Mà theo kết quả câu b), có : $\frac{ED}{CE}=\frac{DF}{BK}$

nên $\frac{GD}{GB}=\frac{ED}{CE}$ 

_ Theo Ta-lét đảo, ta có : $GE//BC$

 

P/S : Mình quên vẽ điểm K, bạn chịu khó đọc ...   

ths pn nhìu       

[tieumynu309]

w.JPG

a) 

_ $\Delta BCK$ có : $BF$ vừa là đường cao, vừa là phân giác nên $\Delta BCK$ cân tại B $\Rightarrow BC=BK$ và $\Rightarrow BF$ là trung tuyến $\Rightarrow CF=FK$.

_ $\Delta CKA$ có : $CF=FK ;CD=DA$ $\Rightarrow FD$ là đtb $\Rightarrow FD//AB\Leftrightarrow MD//AB$ mà $CD=DA$ nên M là trung điểm BC.

 

b) 

_ Có : 

$\frac{DA}{DE}=1+\frac{BK}{DF}\Leftrightarrow \frac{CD}{DE}=1+\frac{BK}{DF}\Leftrightarrow \frac{CE+ED}{ED}=1+\frac{BK}{DF}$

$\Leftrightarrow \frac{CE}{ED}+1=1+\frac{BK}{DF}\Leftrightarrow \frac{CE}{ED}=\frac{BK}{DF}$

 

_ Vậy ta cần chứng minh : $\frac{CE}{ED}=\frac{BK}{DF}$

 

_ Có : $BE$ là phân giác nên : $\frac{CE}{BC}=\frac{EA}{AB}=\frac{EA-EC}{AB-BC}=\frac{(ED+AD)-(CD-ED)}{AB-BK}=\frac{2ED}{KA}$

$\Rightarrow \frac{CE}{ED}=\frac{2BC}{KA}=\frac{2BK}{KA}$  $(1)$

_ Theo phần trình bày ở câu a), ta chứng minh được : 

$KA=2DF(đtb)$ $\Leftrightarrow \frac{2}{KA}=\frac{1}{DF}\Leftrightarrow \frac{2BK}{KA}=\frac{BK}{DF}$  $(2)$

_ Từ (1) và (2), suy ra : $\frac{CE}{ED}=\frac{BK}{DF}$, ta có đpcm

 

c) _ Theo Kết quả câu a), ta có : $FD//BK\Rightarrow \frac{FD}{BK}=\frac{GD}{GB}$ (Ta-lét)

_ Mà theo kết quả câu b), có : $\frac{ED}{CE}=\frac{DF}{BK}$

nên $\frac{GD}{GB}=\frac{ED}{CE}$ 

_ Theo Ta-lét đảo, ta có : $GE//BC$

 

P/S : Mình quên vẽ điểm K, bạn chịu khó đọc ...   

pn ơi!! giải thick cụ thể chỗ (1) giúp mình đi !! chỗ đó mình k hiểu     

[tquangmh]

pn ơi!! giải thick cụ thể chỗ (1) giúp mình đi !! chỗ đó mình k hiểu     

 

 

 

b) 

 

_ Có : $BE$ là phân giác nên : $\frac{CE}{BC}=\frac{EA}{AB}=\frac{EA-EC}{AB-BC}=\frac{(ED+AD)-(CD-ED)}{AB-BK}=\frac{2ED}{KA}$

$\Rightarrow \frac{CE}{ED}=\frac{2BC}{KA}=\frac{2BK}{KA}$  $(1)$

 

 

 

Bạn xem lại dòng trên của số (1) nhé. Có phải là ta có : $\frac{CE}{BC}=\frac{2ED}{KA}\Rightarrow \frac{CE}{ED}=\frac{2BC}{KA}$

Còn $BC=BK$ là do chứng minh ở câu a).