Chủ đề này có 4 trả lời

[tienduc]

Ba số a,b,c thỏa mãn đồng thời các điều kiện $a+b+c=1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= 1$

Chứng minh rằng $a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}=1$

[hoakute]

Biến đổi biểu thức ra $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=0$

Suy ra trong ba số a,b,c có 2 số bằng 1 và 1 số bằng -1

[manhbbltvp]

ta có  $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0$

$\Rightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{ca+cb+c^{2}}=0  \Rightarrow \left ( a+b \right )\left ( ca+cb+c^{2}+ab\right )=0$

$\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

$\Rightarrow a+b=0$ hoặc $b+c=0$ hoặc $c+a=0$

$+)$ nếu  $a+b=0 \Rightarrow c=1\Rightarrow a=1,b=-1$ hoặc $a=-1,b=1 \Rightarrow a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}=1$

các trường hợp còn lại cmtt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 22-04-2016 - 12:56

[tienduc]

ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0

\Rightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{ca+cb+c^{2}}=0 \Rightarrow \left ( a+b \right )\left ( ca+cb+c^{2}+ab\right )=0

\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0

\Rightarrow a+b=0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0

+)nếu  a+b=0 \Rightarrow c=1\Rightarrow a=1,b=-1 hoặc a=-1,b=1 \Rightarrow a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}=1

các trường hợp còn lại cmtt$

cách của bạn cũng khá giống cách của tớ  

 

P/s : bài này là 1 phần nhỏ trong đề thi cấp huyện

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Ba số a,b,c thỏa mãn đồng thời các điều kiện $a+b+c=1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= 1$

Chứng minh rằng $a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}=1$

Nhận xét rằng: $a+b+c=1\Leftrightarrow \frac{1}{a+b+c}=1\Leftrightarrow \frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow \frac{b+c}{bc}=-\frac{b+c}{a(a+b+c)}\Leftrightarrow (b+c)(\frac{1}{bc}+\frac{1}{a(a+b+c)})\Leftrightarrow$ $(b+c)(\frac{(a+b)(a+c)}{abc(a+b+c)})=0\Leftrightarrow a+b=0 \vee b+c=0 \vee a+c=0$

Đến đây dễ rồi :3