Chủ đề này có 12 trả lời

[I Love MC]

Nguồn : Thầy Võ Quốc Bá Cẩn 

[tquangmh]

@Bổ sung : Trong đề, câu 1a thầy Cẩn có tham khảo từ trang web brilliant.org, câu 3 là đề thi học sinh giỏi thành phố Hồ Chí Minh, câu 5 thầy có tham khảo và chế lại từ đề thi Ams. (Các câu khác là sản phẩm cá nhân, nếu có trùng khớp ở đâu thì thành thật xin lỗi tác giả) - Thầy Cẩn nói. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 23-04-2016 - 19:46

[hoctrocuaHolmes]

Quang có thể gõ đề ra để tụi mình xem được không? Đề mờ quá,nhìn hơi hại mắt  

[nntien]

1.a Dễ thấy p=2 không là nghiệm.

Ta có 16p+1 là số lẻ.

=> Nếu 16p+1 là lập phương của một số thì tồn tại k sao cho: $16p+1=(2k+1)^3$

<=>$8p=k(4k^2+6k+3)$ Giả sử $(k,4k^2+6k+3) \neq 1$=> $(k,4k^2+6k+3)=3$=> p chia hết cho 9 vô lý =>  $(k,4k^2+6k+3) = 1$

=> $k=8$ => p=307 là số nguyên tố cần tìm.

[tquangmh]

ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10

Môn : Toán Chuyên

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1 : 

a) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $16p + 1$ là lập phương của một số tự nhiên.

b) Cho các số thực phân biệt $a,b,c$ thỏa mãn : $(a-b)(b-c)(c-a)=(a+b)(b+c)(c+a)$

Tính giá trị biểu thức :

$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

 

Bài 2 : 

a) Giải phương trình : $3\sqrt{x+4}+3\sqrt{1-x}+4\sqrt{3x+9}=x^{2}+7x+21$

b) Tìm tất cả các bộ số dương $(x;y;z)$ thỏa mãn hệ phương trình : 

$\left\{\begin{matrix} 2yz=x^{2}-73\\2zx=y^{2}+2 \\ 2xy=z^{2}+71 \end{matrix}\right.$

 

Bài 3 : 

a) Cho $a< b< c$ là các số dương thỏa mãn : $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng : $ab^{2}c^{3}<4$

b) Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn : $ab+bc+ca=3$. Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức : 

$P=4(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3}})+\frac{9c}{\sqrt{c^{2}+3}}$

 

Bài 4 : Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, có tia $AB$ cắt tia $CD$ tại $E$ và tia $AD$ cắt tia $BC$ tại $F$. Gọi $M$ là giao điểm thứ hai (khác $C$) của hai đường tròn $(BCE)$ và $CDF$. Chứng minh rằng : 

a) Ba điểm $E,M,F$ thẳng hàng.

b) Điểm $M$ thuộc đường tròn $(ADE)$.

c) $OM$ vuông góc $EF$

 

Bài 5 : Xét các số nguyên $a,b,c\in (-10^{6},10^{6})$ sao cho trong chúng có ít nhất một số khác 0. Chứng minh rằng : 

$\left | a+b\sqrt{3}+c\sqrt{5} \right |> \frac{1}{10^{21}}$

 

---HẾT---

 

(Võ Quốc Bá Cẩn)

[CaptainCuong]

a)$\widehat{BME}=\widehat{BCD};\widehat{FMB}=\widehat{DAB}\Rightarrow \widehat{FMB}+\widehat{EMB}=\widehat{BCD}+\widehat{DAB}=180^{0}$

$\rightarrow F,M,E$ thẳng hàng

b)$FA.FD=FB.FC=FM.FE\Rightarrow \Delta FAM\sim \Delta FED\Rightarrow \widehat{FAM}=\widehat{FED}\Rightarrow$ $AMED$ nội tiếp

 

Hình gửi kèm

• 

[truong9bthcstb]

a) cm đẳng thức: x+y+|x-y|=max{x,y}, Với mọi x,y$\epsilon$R

[nntien]

a) cm đẳng thức: x+y+|x-y|=max{x,y}, Với mọi x,y$\epsilon$R

Xét x>=y => 2.max(x,y)=2x và x+y+|x-y|=2x đúng.

Xét y>x => 2.max(x,y)=2y và x+y+|x-y|=2y đúng.

=> x+y+|x-y|=2max{x,y}, Với mọi x,y$\epsilon$R

[nntien]

a)$\widehat{BME}=\widehat{BCD};\widehat{FMB}=\widehat{DAB}\Rightarrow \widehat{FMB}+\widehat{EMB}=\widehat{BCD}+\widehat{DAB}=180^{0}$

$\rightarrow F,M,E$ thẳng hàng

b)$FA.FD=FB.FC=FM.FE\Rightarrow \Delta FAM\sim \Delta FED\Rightarrow \widehat{FAM}=\widehat{FED}\Rightarrow$ $AMED$ nội tiếp

Đối với hình vẽ như bạn Captain Cuong, thì câu c được chứng minh vắn tắt như sau:

Gọi I, J là tâm các đường tròn như hình vẽ.

JO vuông góc với CD, OI vuông góc với => $\angle JOI = \angle FAE$, tương tự ta có $\angle OJI = \angle AFE$

=> tam giác OIJ đồng dạng với tam giác AEF.

Mặt khác ta có $\angle MFC = \angle MJI$ (cùng bằng 1/2 góc MJC), tương tự ta có: $\angle MEC = \angle MIJ$

=> $\angle JMI + \angle BCD = 180^0$

=> JMIO nội tiếp.

=> $\angle OMI = \angle OJI = \angle AFE$, mặt khác: $\angle IME = 90^0 - \angle MBE$

=> $\angle OME = \angle OMI + \angle IME = \angle AFE + 90^0 - \angle MBE = 90^0$.

Hình gửi kèm

• 

[thaibuithd2001]

Đối với hình vẽ như bạn Captain Cuong, thì câu c được chứng minh vắn tắt như sau:

Gọi I, J là tâm các đường tròn như hình vẽ.

JO vuông góc với CD, OI vuông góc với => $\angle JOI = \angle FAE$, tương tự ta có $\angle OJI = \angle AFE$

=> tam giác OIJ đồng dạng với tam giác AEF.

Mặt khác ta có $\angle MFC = \angle MJI$ (cùng bằng 1/2 góc MJC), tương tự ta có: $\angle MEC = \angle MIJ$

=> $\angle JMI + \angle BCD = 180^0$

=> JMIO nội tiếp.

=> $\angle OMI = \angle OJI = \angle AFE$, mặt khác: $\angle IME = 90^0 - \angle MBE$

=> $\angle OME = \angle OMI + \angle IME = \angle AFE + 90^0 - \angle MBE = 90^0$.

Em có lời giải cho câu $c)$ như sau 

Bổ đề: $\Delta ABC$ có $D,E,F$ lần lượt thuộc các cạnh $BC,CA,AB$ sao cho $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$.

            $AD$ $\cap$ $FE=T$ thì $(A,H,T,D)=-1$ 

           chứng minh bổ đề này không khó , chỉ gọi $G=FE \cap BC$ 

Quay lại bài tóan: Gọi $H=AC \cap BD$ 

                                      $U=BD \cap EF$

                                      $Mx$ là tia đối của tia $MD$

                               Ta có: dễ dàng chứng minh $DCMF$ là tứ giác nội tiếp 

                                         => $\widehat{CMD}=\widehat{CFD}=\widehat{BMA}$ ($CMFD$ nội tiếp)

                                         Vì $ECBM$ và $BMFA$ là 2 tứ giác nội tiếp cho nên $\widehat{EMC}=\widehat{EBC}=\widehat{FBA}=\widehat{FMA}$

                                    do đó $\widehat{EMC}+\widehat{CMD}=\widehat{BMA}+\widehat{AMF}$

                                        <=> $\widehat{EMD}=\widehat{BMF}=\widehat{FMx}$

                                         => $MF$ là phân giác $\widehat{BMx}$ (1)

                                        Mặt khác , theo bổ đề thì $(D,B,H,U)=-1$ nên $(MD,MB,MH,MU)=-1$ (2)

                                      Từ (1)(2) => $MF \perp MH$ 

                                       Theo định lý $Brocard$ thì $OH \perp EF$ => $\overline{O,H,M}$ hay $OM \perp EF$

                                        

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaibuithd2001: 24-04-2016 - 18:59

[nntien]

Em có lời giải cho câu $c)$ như sau 

Bổ đề: $\Delta ABC$ có $D,E,F$ lần lượt thuộc các cạnh $BC,CA,AB$ sao cho $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$.

            $AD$ $\cap$ $FE=T$ thì $(A,H,T,D)=-1$ 

           chứng minh bổ đề này không khó , chỉ gọi $G=FE \cap BC$ 

Quay lại bài tóan: Gọi $H=AC \cap BD$ 

                                      $U=BD \cap EF$

                                      $Mx$ là tia đối của tia $MD$

                               Ta có: dễ dàng chứng minh $DCMF$ là tứ giác nội tiếp 

                                         => $\widehat{CMD}=\widehat{CFD}=\widehat{BMA}$ ($CMFD$ nội tiếp)

                                         Vì $ECBM$ và $BMFA$ là 2 tứ giác nội tiếp cho nên $\widehat{EMC}=\widehat{EBC}=\widehat{FBA}=\widehat{FMA}$

                                    do đó $\widehat{EMC}+\widehat{CMD}=\widehat{BMA}+\widehat{AMF}$

                                        <=> $\widehat{EMD}=\widehat{BMF}=\widehat{FMx}$

                                         => $MF$ là phân giác $\widehat{BMx}$ (1)

                                        Mặt khác , theo bổ đề thì $(D,B,H,U)=-1$ nên $(MD,MB,MH,MU)=-1$ (2)

                                      Từ (1)(2) => $MF \perp MH$ 

                                       Theo định lý $Brocard$ thì $OH \perp EF$ => $\overline{O,H,M}$ hay $OM \perp EF$

                                        

Thật ra bài này nếu chỉ xét trong chương trình lớp 9 thì đây là bài toán khó vì ta xét nhiều trường hợp.

Nếu em dùng kiến thức về hàng điểm điều hòa có được chấp nhận! Có phần nào liên quan đến độ dài đại số.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 24-04-2016 - 21:23

[truong9bthcstb]

cm đẳng thức $\left | \frac{a+b}{ab}+\left | \frac{a-b}{ab}\right |-\frac{2}{c} \right |+\frac{a+b}{ab}+\left | \frac{a-b}{ab} \right |+\frac{2}{c}=4max\left \{ \frac{1}{a},\frac{1}{b} ,\frac{1}{c}\right \} với a,b,c\neq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truong9bthcstb: 24-04-2016 - 22:06

[nntien]

cm đẳng thức $\left | \frac{a+b}{ab}+\left | \frac{a-b}{ab}\right |-\frac{2}{c} \right |+\frac{a+b}{ab}+\left | \frac{a-b}{ab} \right |+\frac{2}{c}=4max\left \{ \frac{1}{a},\frac{1}{b} ,\frac{1}{c}\right \} với a,b,c\neq 0$

Đây là bài trong đề tuyển sinh lớp 10 PTNK TP.HCM cách giải tương tự như:

 

Xét x>=y => 2.max(x,y)=2x và x+y+|x-y|=2x đúng.

Xét y>x => 2.max(x,y)=2y và x+y+|x-y|=2y đúng.

=> x+y+|x-y|=2max{x,y}, Với mọi x,y$\epsilon$R