Chủ đề này có 1 trả lời

[nhatanh2000]

cho tứ diện ABCD và bốn điểm M, N, E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh điều kiện cần và đủ để 4 điểm M, N, E, F đồng phẳng là $\frac{MA}{MB}.\frac{NB}{NC}.\frac{EC}{ED}.\frac{FD}{FA}=1$

[vkhoa]

cho tứ diện ABCD và bốn điểm M, N, E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh điều kiện cần và đủ để 4 điểm M, N, E, F đồng phẳng là $\frac{MA}{MB}.\frac{NB}{NC}.\frac{EC}{ED}.\frac{FD}{FA}=1$

Xét 2 trường hợp
*TH1: MN song song AC
có $\frac{AM}{BM} =\frac{CN}{BN}$
$\Rightarrow$MN //mp(ACD) do đó
M, N, E, F đồng phẳng $\Leftrightarrow$ EF là giao tuyến mp(MNE) và mp(ACD)
$\Leftrightarrow$ MN //EF //AC
$\Leftrightarrow\frac{CE}{DE} =\frac{AF}{DF}$
$\Rightarrow\frac{AM}{BM} .\frac{BN}{CN} .\frac{CE}{DE} .\frac{DF}{AF} =1$ (1)
ngược lại nếu có (1)
$\Rightarrow\frac{CE}{DE} .\frac{DF}{AF} =\frac{BM}{AM} .\frac{CN}{BN} =1$
$\Leftrightarrow\frac{CE}{DE} =\frac{AF}{DF}$
$\Rightarrow$EF //AC //MN
$\Rightarrow$ M, N, E, F đồng phẳng
*TH2: MN cắt AC tại G
có $\frac{AM}{BM} .\frac{BN}{CN} =\frac{AG}{CG}$ (theo Menelaus)
suy ra $\frac{AM}{BM} .\frac{BN}{CN} .\frac{CE}{DE} .\frac{DF}{AF} =1$
$\Leftrightarrow \frac{CE}{DE} .\frac{DF}{AF} .\frac{AG}{CG} =1$
$\Leftrightarrow$ E, F, G thẳng hàng (theo Menelaus)
$\Leftrightarrow$ M, N, G, E, F đồng phẳng (đpcm)

Hình gửi kèm

•