Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm nội tiếp. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F.$ Hạ $DK\perp EF$ và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.
Chứng minh $KD$ là phân giác $\angle IKH$.
Mình sử dụng $Anti steiner$ và vị tự nhưng thấy khá phức tạp! Mọi người ai có ý kiến gì thì đóng góp nhé!
Bài này trước kia mình đã gặp nhưng chưa tìm thấy lời giải thuần túy
Còn lời giải tính toán thì $KD$ cắt $AH$ tại $T$. $HK$ cắt $AI$ tại $S$. $L$ là trực tâm tam giác $DEF$
Để ý: $AI$ song song với $DK$ nên để chứng minh $KD$ là phân giác $\angle IKH$ thì ta chỉ cần $KS=KI$ hay $S,I$ đối xứng qua $EF$
Theo một tính chất quen thuộc thì chỉ cần $S$ là trực tâm tam giác $AEF$.
Đến đây ta sẽ sử dụng định lý $Thales$ để tính hẳn $AS$ với $TK \parallel AS$
Để ý :$ATDI$ là một hình bình hành nên $HT=AH-AT=AH-ID=AH-r,TK=TD-DK=AI-DK$ thì ta tính được ngay
Mình có một số tính chất đã chứng minh được xoay quanh cấu hình này hi vọng có thể có lời giải thuần túy đơn giản:
1.Gọi $X$ là chân đường cao kẻ từ $A$ xuống $BC$. Khi đó $\widehat{IKD}=\widehat{KIA}=\widehat{XID}$
2.Tia $KI$ cắt $(O)$ tại $M$. Khi đó $AM$ là đường kính của $(O)$
Tia $IK$ cắt $(O)$ tại $N$. Khi đó $A,N,E,F,I$ đồng viên
Từ đó ta thấy nếu gọi $R$ là giao điểm của $KH$ và $IX$ thì chỉ cần chỉ ra $KIDR$ nội tiếp là bài toán được chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 28-04-2016 - 00:29