Chủ đề này có 1 trả lời

[NamTueMinh]

Cho (O); (O') ngoài nhau nhận AC làm tiếp tuyến ngoài ( A thuộc (O); C thuộc (O') ), BD là tiếp tuyến trong ( B thuộc (O);  D thuộc (O'). Chứng minh AB, CD , OO' đồng quy .

  
Mình đã làm một cách mà hơi dài, mong mọi người góp ý các cách hay và ngắn

[vkhoa]

Cho (O); (O') ngoài nhau nhận AC làm tiếp tuyến ngoài ( A thuộc (O); C thuộc (O') ), BD là tiếp tuyến trong ( B thuộc (O);  D thuộc (O'). Chứng minh AB, CD , OO' đồng quy .

  
Mình đã làm một cách mà hơi dài, mong mọi người góp ý các cách hay và ngắn

Gọi G, G' lần lượt là giao điểm AB, CD với OO'
gọi F là giao điểm AC với BD
H là giao điểm AB với OF, K là giao điểm CD với O'F
ta có $\widehat{O'FC} =\frac{\widehat{CFD}}2 =\frac{\widehat{FAB} +\widehat{FBA}}2 =\widehat{FAB}$
$\Rightarrow$ GA //O'F
$\Rightarrow\frac{OG}{OO'} =\frac{OH}{OF}$ (1)
chứng minh tương tự được G'C //OF
$\Rightarrow\frac{OG'}{OO'} =\frac{FK}{FO'}$ (2)
có $\triangle OHB\sim\triangle OBF$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{OH}{OB} =\frac{OB}{OF}$
$\Rightarrow\frac{OH}{OF} =\frac{OH}{OB} .\frac{OB}{OF} =(\frac{OB}{OF})^2$ (3)
có $\triangle FKD\sim\triangle FDO'$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{FK}{FD} =\frac{FD}{FO'}$
$\Rightarrow\frac{FK}{FO'} =\frac{FK}{FD} .\frac{FD}{FO'}$
$\Rightarrow\frac{FK}{FO'} =(\frac{FD}{FO'})^2$ (4)
mặt khác $\triangle OBF\sim\triangle FDO'$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{OB}{OF} =\frac{FD}{FO'}$ (5)
từ (1, 2, 3, 4, 5)$\Rightarrow\frac{OG}{OO'} =\frac{OG'}{OO'}$
$\Leftrightarrow OG =OG'\Leftrightarrow G\equiv G'$
$\Rightarrow$(đpcm)

Hình gửi kèm

•