2 replies to this topic

[ngocminhxd]

Cho (O). Vẽ 2 dây AB và EF cắt nhau tại I( I nằm trong đường tròn). Gọi M là trung điểm BF, Mi cắt AE tại N . Chứng minh $\frac{AN}{NE}=\frac{AI^{2}}{EI^{2}}$

Edited by ngocminhxd, 02-05-2016 - 09:02.

[ngocminhxd]

Cho (O). Vẽ 2 dây AB và EF cắt nhau tại I( I nằm trong đường tròn). Gọi M là trung điểm BF, Mi cắt AE tại N . Chứng minh $\frac{AN}{NE}=\frac{AI^{2}}{EI^{2}}$

Edited by HappyLife, 02-05-2016 - 18:19.

[vkhoa]

Cho (O). Vẽ 2 dây AB và EF cắt nhau tại I( I nằm trong đường tròn). Gọi M là trung điểm BF, Mi cắt AE tại N . Chứng minh $\frac{AN}{NE}=\frac{AI^{2}}{EI^{2}}$

Lấy điểm G đối xứng với I qua M
ta có IBGF là hình bình hành
có $S_{FAI} =S_{GAI}$ (vì có chung đáy AI và FG //AI) (1)
có $S_{BEI} =S_{GEI}$ (vì có chung đáy EI và BG //EI) (2)
lần lượt hạ AC, ED vuông góc MN tại C, D
có $\frac{S_{GAI}}{S_{GEI}} =\frac{\frac12 .AC .GI}{\frac12 .ED .GI} =\frac{AC}{ED} =\frac{AN}{EN}$ (vì AC //ED) (3)
từ (1, 2, 3)$\Rightarrow\frac{S_{FAI}}{S_{BEI}} =\frac{AN}{EN}$ (4)
mặt khác $\triangle FAI\sim\triangle BEI$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{S_{FAI}}{S_{BEI}} =\frac{AI^2}{EI^2}$ (5)
từ (4, 5)$\Rightarrow\frac{AN}{EN} =\frac{AI^2}{EI^2}$ (đpcm)

Attached Images

•