Chủ đề này có 3 trả lời

[Ipecstrongs]

So sánh: $3^{2015}+4^{2015}$ và $5^{2015}$

Note

Làm theo cách lớp 6 nhé mọi người

 

[tpdtthltvp]

So sánh: $3^{2015}+4^{2015}$ và $5^{2015}$

Note

Làm theo cách lớp 6 nhé mọi người

Ta sẽ đi chứng minh: $5^{2015}> 3^{2015}+4^{2015}̣\left ( 1 \right )$

Thật vậy, ta có:

$$\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \left ( \frac{5}{4} \right )^{2015}> \left ( \frac{3}{4} \right )^{2015}+1$$

Áp dụng BĐT Bernoulli:

$$\left ( \frac{5}{4} \right )^{2015}= \left ( \frac{1}{4}+1 \right )^{2015}> \frac{2015}{4}+1> \left ( \frac{3}{4} \right )^{2015}+1$$

Do đó ta có đpcm.

 

Còn cách lớp 6 thì anh không biết nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 02-05-2016 - 09:52

[I Love MC]

Ta sẽ đi chứng minh: $5^{2015}> 3^{2015}+4^{2015}̣\left ( 1 \right )$

Thật vậy, ta có:

$$\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \left ( \frac{5}{4} \right )^{2015}> \left ( \frac{3}{4} \right )^{2015}+1$$

Áp dụng BĐT Bernoulli:

$$\left ( \frac{5}{4} \right )^{2015}= \left ( \frac{1}{4}+1 \right )^{2015}> \frac{2015}{4}+1> \left ( \frac{3}{4} \right )^{2015}+1$$

 

Tổng quát : Với $n \ge 3$ thì $5^n>3^n+4^n$ 
Với $n=3$ thì dĩ nhiên là đúng 
Giả sử nó đúng với $n$ . Ta chứng minh nó đúng  với $n+1$ 
Ta có $5^{n+1}>3^{n+1}+4^{n+1}$ 
$\Leftrightarrow 5^{n}.3-3^n.3-4^n.3+5^n.2-4^n>0$ (đúng) 
 

 

So sánh: $3^{2015}+4^{2015}$ và $5^{2015}$

Note

Làm theo cách lớp 6 nhé mọi người

[Alpha LogaE]

Ta có: $5^{2015}=(4+1).5^{2014}=4.5^{2014}+5^{2014}=4.(4+1).5^{2013}+5^{2014}=4^{2}.5^{2013}+4.5^{2013}+5^{2014}=4^{2}.5^{2013}+3^{2}.5^{2013}>4^{2015}+3^{2015}.$