Tam giác ABC nội tiếp (O),tâm ngoại tiếp I.AI cắt BC tại D.AI cắt (O) tại E,K và L là tâm nội tiếp tam giác DEB,DEC.P đối xứng I qua KL.Chứng minh rằng BP vuông góc PC
Chứng minh góc BP vuông góc PC
#1
Đã gửi 04-05-2016 - 17:53
#2
Đã gửi 06-05-2016 - 19:13
Tam giác ABC nội tiếp (O),tâm ngoại tiếp I.AI cắt BC tại D.AI cắt (O) tại E,K và L là tâm nội tiếp tam giác DEB,DEC.P đối xứng I qua KL.Chứng minh rằng BP vuông góc PC
Ta có $\widehat{IBK} =\widehat{IBD} +\widehat{DBK}$ (1)
$\widehat{IBD}=\frac{\widehat{ABD}}2$ (2)
$\widehat{DBK} =\frac{\widehat{DBE}}2 =\frac{\widehat{DAC}}2 =\frac{\widehat{BAD}}2$ (3)
từ (1, 2, 3)$\Rightarrow\widehat{IBK} =\frac{\widehat{BDE}}2 =\widehat{KDE}$
$\Rightarrow$ BIDK nội tiếp
có $\widehat{KBI} =\widehat{KDE} =\widehat{KDB} =\widehat{KIB}$
$\Rightarrow$ KI =KB
$\Rightarrow$ K là tâm ngoại tiếp của IBP
chứng minh tương tự như trên, ta có CIDL nội tiếp
$\Rightarrow$ L là tâm ngoại tiếp của ICP
có $\widehat{BKP} +\widehat{CLP}$
$=2\widehat{BIP} +2\widehat{CIP} =2\widehat{BIC}$
$=2(180^\circ -\widehat{IBC} -\widehat{ICB})$
$\Rightarrow\widehat{IBC} +\widehat{ICB}$
$=(90^\circ -\frac{\widehat{BKP}}2) +(90^\circ -\frac{\widehat{CLP}}2)$
$=\widehat{KPB} +\widehat{LPC} =\widehat{BPC} -\widehat{KPL}$
$\Leftrightarrow\widehat{BPC} =\widehat{IBC} +\widehat{ICB} +\widehat{KPL}$ (4)
mặt khác $\widehat{KPL} =\widehat{KIL}$
$=\widehat{DIK} +\widehat{DIL}$
$=\widehat{DBK} +\widehat{DCL}$ (5)
từ (4, 5)$\Rightarrow\widehat{BPC} =\frac{\widehat{ABC}}2 +\frac{\widehat{ACB}}2 +\frac{\widehat{CBE}}2 +\frac{\widehat{BCE}}2$
$=\frac{\widehat{ABE}}2 +\frac{\widehat{ACE}}2 =90^\circ$ (đpcm)
- xuantungjinkaido yêu thích
(Giúp với Tính $\int_m^n\left(\sqrt{ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}\right) dx$)
(Tam giác ABC cân tại A, lấy D trên cạnh BC, r1,r2 là bán kính nội tiếp ABD, ACD. Xác định vị trí D để tích r1.r2 lớn nhất )
(Nhấn nút "Thích" thay cho lời cám ơn, nút Thích nằm cuối mỗi bài viết, đăng nhập để nhìn thấy nút Thích)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh