Balkan Mathematical Olympiad 2016
Bài 1. Tìm tất cả hàm đơn ánh $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho với mọi số thực $x$ và mọi số nguyên dương $n$, $$\left|\sum_{i = 1}^{n}i\left(f(x + i + 1) - f(f(x + i))\right)\right| < 2016$$
Bài 2. Cho $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp với $AB < CD$. Hai đường chéo giao nhau tại $F$ và đường thẳng $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $E$. Gọi $K, L$ lần lượt là hình chiếu của $F$ lên cạnh $AD, BC$, và $M, S, T$ lần lượt các trung điểm của $EF, CF, DF$. Chứng minh rằng giao điểm thứ hai của $(MKT)$ và $(MLS)$ nằm trên đoạn $CD$.
Bài 3. Tìm tất cả đa thức monic $f$ với hệ số nguyên thỏa các điều kiện sau: tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho $p$ chia hết $2(f(p))! + 1$ với mọi số nguyên tố $p > N$.
Bài 4. Mặt phẳng được chia thành các ô vuông đơn vị bởi hai tập hợp các đường thẳng song song nhau, tạo thành vô hạn lưới. Mỗi ô vuông đơn vị được một trong $1201$ màu sao cho không có hình chữ nhật nào với chu vi $100$ chứa hai hình vuông cùng màu. Chứng minh rằng không có hình chữ nhật nào với kích thước $1\times 1201$ chứa hai ô vuông cùng màu.
Chú ý: Mọi hình chữ nhật được đề cập ở đây có cạnh nằm trên các đường trên lưới.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 07-05-2016 - 21:49
Lỗi chính tả