Giải phương trình $3^{x-1}=\sqrt{x^2-2x+2}+x-1$
Giải phương trình $3^{x-1}=\sqrt{x^2-2x+2}+x-1$
#1
Đã gửi 10-05-2016 - 15:48
#2
Đã gửi 10-05-2016 - 21:28
Giải phương trình $3^{x-1}=\sqrt{x^2-2x+2}+x-1$
Đặt $t=x-1$, PT trở thành: $3^{t}=\sqrt{t^2+1}+t$ (1)
$\Rightarrow 3^{-t}=\sqrt{t^2+1}-t$ (2)
Từ (1), (2) suy ra $3^t-3^{-t}-2t=0$ (3).
Dễ thấy hàm số $f(t)=3^t-3^{-t}-2t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $f(0)=0$. Do đó, PT (3) có nghiệm duy nhất $t=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NAT: 10-05-2016 - 21:30
- Element hero Neos yêu thích
#3
Đã gửi 10-05-2016 - 22:20
Đặt $t=x-1$, PT trở thành: $3^{t}=\sqrt{t^2+1}+t$ (1)
$\Rightarrow 3^{-t}=\sqrt{t^2+1}-t$ (2)
Từ (1), (2) suy ra $3^t-3^{-t}-2t=0$ (3).
Dễ thấy hàm số $f(t)=3^t-3^{-t}-2t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $f(0)=0$. Do đó, PT (3) có nghiệm duy nhất $t=0$
Với giá trị âm thì hàm $f(x)$ luôn nghịch biến
#4
Đã gửi 11-05-2016 - 04:49
Giải phương trình $3^{x-1}=\sqrt{x^2-2x+2}+x-1$
đặt $t=x-1$ ta có
$3^t=\sqrt{t^2+1}+t$
$\Leftrightarrow 3^t(\sqrt{t^2+1}-t)=1$
xét $f(t)=3^t(\sqrt{t^2+1}-t),\ t\in \mathbb{R}$ thì ta có
$f'(t)=(\sqrt{t^2+1}-t)3^t\left ( ln3-\frac{1}{\sqrt{t^2+1}} \right )>0$
$\Rightarrow f(t)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$
mà $f(0)=1\Rightarrow t=0\Rightarrow x=1$
vậy $\boxed{x=1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 11-05-2016 - 04:50
- Chris yang, Element hero Neos và dunghoiten thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
#5
Đã gửi 11-05-2016 - 14:36
Với giá trị âm thì hàm $f(x)$ luôn nghịch biến
$f'(t)=(3^t+3^{-t})\ln3-2\geq 2\ln3-2>0, \forall t \in \mathbb{R}$ mà âm gì nữa?
#6
Đã gửi 11-05-2016 - 14:59
$f'(t)=(3^t+3^{-t})\ln3-2\geq 2\ln3-2>0, \forall t \in \mathbb{R}$ mà âm gì nữa?
$ln3(3^t-3^{-t})-2$, là dấu trừ chứ không phải dấu cộng bạn ạ!
#7
Đã gửi 11-05-2016 - 19:14
$ln3(3^t-3^{-t})-2$, là dấu trừ chứ không phải dấu cộng bạn ạ!
Đạo hàm của hàm hợp mà: $f'(t)=3^t \ln3-3^{-t}.(-t)'.\ln3-2=(3^t+3^{-t})\ln3-2$
- Chris yang yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh