6 replies to this topic

[Chris yang]

Giải phương trình $3^{x-1}=\sqrt{x^2-2x+2}+x-1$

[NAT]

Giải phương trình $3^{x-1}=\sqrt{x^2-2x+2}+x-1$

Đặt $t=x-1$, PT trở thành:  $3^{t}=\sqrt{t^2+1}+t$  (1)

$\Rightarrow 3^{-t}=\sqrt{t^2+1}-t$  (2)

Từ (1), (2) suy ra $3^t-3^{-t}-2t=0$  (3).

Dễ thấy hàm số $f(t)=3^t-3^{-t}-2t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $f(0)=0$. Do đó, PT (3) có nghiệm duy nhất $t=0$

Edited by NAT, 10-05-2016 - 21:30.

[Chris yang]

Đặt $t=x-1$, PT trở thành:  $3^{t}=\sqrt{t^2+1}+t$  (1)

$\Rightarrow 3^{-t}=\sqrt{t^2+1}-t$  (2)

Từ (1), (2) suy ra $3^t-3^{-t}-2t=0$  (3).

Dễ thấy hàm số $f(t)=3^t-3^{-t}-2t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $f(0)=0$. Do đó, PT (3) có nghiệm duy nhất $t=0$

Với giá trị âm thì hàm $f(x)$ luôn nghịch biến

[nhungvienkimcuong]

Giải phương trình $3^{x-1}=\sqrt{x^2-2x+2}+x-1$

đặt $t=x-1$ ta có

$3^t=\sqrt{t^2+1}+t$

$\Leftrightarrow 3^t(\sqrt{t^2+1}-t)=1$

xét $f(t)=3^t(\sqrt{t^2+1}-t),\ t\in \mathbb{R}$ thì ta có

$f'(t)=(\sqrt{t^2+1}-t)3^t\left ( ln3-\frac{1}{\sqrt{t^2+1}} \right )>0$

$\Rightarrow f(t)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$

mà $f(0)=1\Rightarrow t=0\Rightarrow x=1$

vậy $\boxed{x=1}$

Edited by nhungvienkimcuong, 11-05-2016 - 04:50.

[NAT]

Với giá trị âm thì hàm $f(x)$ luôn nghịch biến

$f'(t)=(3^t+3^{-t})\ln3-2\geq 2\ln3-2>0, \forall t \in \mathbb{R}$ mà âm gì nữa?

[Chris yang]

$f'(t)=(3^t+3^{-t})\ln3-2\geq 2\ln3-2>0, \forall t \in \mathbb{R}$ mà âm gì nữa?

$ln3(3^t-3^{-t})-2$, là dấu trừ chứ không phải dấu cộng bạn ạ!

[NAT]

$ln3(3^t-3^{-t})-2$, là dấu trừ chứ không phải dấu cộng bạn ạ!

Đạo hàm của hàm hợp mà: $f'(t)=3^t \ln3-3^{-t}.(-t)'.\ln3-2=(3^t+3^{-t})\ln3-2$