Chủ đề này có 3 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), BD và CE là các đường cao của tam giác ABC. Đường thẳng ED cắt đường thẳng BC tại F. Gọi M, N và S lần lượt là giao điểm của tia phân giác góc DFC với AB, AC và tia phân giác góc BAC. Gọi K là giao điểm của tia AS với BC, H là trung điểm BC. Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN tại P

            a) Chứng minh rằng AS vuông góc với MN

            b) Tứ giác AMKN nội tiếp

            c) A, P, H thẳng hàng 

[ineX]

phần a: có $\widehat{FCN}=\widehat{FEM}$ do đó $\widehat{EMN}=\widehat{DNM}$ nên tam giác $AMN$ cân tại $A$ nên có đpcm

[anhquannbk]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), BD và CE là các đường cao của tam giác ABC. Đường thẳng ED cắt đường thẳng BC tại F. Gọi M, N và S lần lượt là giao điểm của tia phân giác góc DFC với AB, AC và tia phân giác góc BAC. Gọi K là giao điểm của tia AS với BC, H là trung điểm BC. Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN tại P

            a) Chứng minh rằng AS vuông góc với MN

            b) Tứ giác AMKN nội tiếp

            c) A, P, H thẳng hàng 

b) $\bigtriangleup MAK= \bigtriangleup NAK$

suy ra $KM=KN$

Tứ giác $AMKN$ có $AK$ là phân giác $\angle MAN$ và $KM=KN$ nên nội tiếp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 11-05-2016 - 10:30

[the unknown]

b) $\bigtriangleup MAK= \bigtriangleup NAK$

suy ra $KM=KN$

Tứ giác $AMKN$ có $AK$ là phân giác $\angle MAN$ và $KM=KN$ nên nội tiếp

Em nghĩ hướng chứng minh như vậy là không đúng ạ. Theo em thì áp dụng định lý $Menelaus$ cho tam giác $FDC$ và ba điểm thẳng hàng $B,E,A$ ta có $\frac{FE.BC.DA}{AC.ED.FB}=1$.

Mà $\Delta ADE\sim \Delta ABC\Rightarrow AB=\frac{BC.DA}{ED}\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{FB}{FE}$.    

Mặt khác do $BF$ là phân giác góc $BEF$, $AK$ là phân giác góc $BAC$ nên: $\frac{FB}{FE}=\frac{MB}{ME},\frac{AB}{AC}=\frac{BK}{KC}\Rightarrow \frac{MB}{ME}=\frac{BK}{KC}\Rightarrow MK\parallel CE\Rightarrow MK\perp AB$.

Mà do $\Delta AMN$ cân tại $A$ nên $M,N$ đối xứng qua $AK$ nên $\angle AMK=\angle ANK=90$ nên $AMKN$ nội tiếp.

Em làm luôn câu c) ạ ( em đăng hình được nên mọi người thông cảm  )

Qua $P$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ tại $Q,R$ tương ứng, khi đó ta có $PK\perp QR\Rightarrow \angle QPK=\angle AMK= 90$ nên $MQPK$ nội tiếp suy ra:

                                               $\angle AMP=\angle QKP$

Chứng minh tương tự được:   $\angle ANP=\angle PKR$

Mà:                                         $\angle AMP=\angle ANP\Rightarrow \angle QKP=\angle PKR$ nên tam giác $QKR$ cân tại $K$ suy ra $P$ là trung điểm $QR$. Có $H$ là trung điểm $BC$ và $QR\parallel BC$ nên theo bổ đề hình thang thì $A,P,H$ thẳng hàng.