Chủ đề này có 1 trả lời

[lily evans]

Trong một hình tròn có diện tích S lấy 2009 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. CMR: Luôn tìm được 3 điểm tạo thành một tam giác có diện tích bé thua $\frac{S}{2007}$

Thực ra đề ban đầu là $\frac{S}{1004}$, nhưng mình thấy có thể chứng minh nhỏ hơn nên đã sửa lại. Nếu không ai post đáp án thì mình post cho.

[lily evans]

Chọn $A_{1}$ sao cho từ $A_{1}$ có thể nhìn tất cả các điểm còn lại dưới một góc bé thua góc bẹt.

Nối $A_{1}A_{2}$ ($A_{2}$ nằm trên của góc nhỏ nhất sao cho từ $A_{1}$ có thể nhìn tất cả các điểm còn lại dưới góc đó)

Chọn $A_{3}$ sao cho $A_{1}A_{3}$  chia mặt phẳng trên thành hai nửa mặt phẳng, một nửa mặt phẳng chứa $A_{2}$ và nửa mặt phẳng kia chứa 2006 điểm còn lại. Nối $A_{1}A_{3}$, $A_{3}A_{2}$, tạo tam giác $A_{1}A_{2}A_{3}$, gọi là tam giác 1.

Chọn $A_{4}$ sao cho $A_{1}A_{4}$  chia mặt phẳng trên thành hai nửa mặt phẳng, một nửa mặt phẳng chứa $A_{2}$,  $A_{3}$ và nửa mặt phẳng kia chứa 2005 điểm còn lại. Nối $A_{4}A_{3}$, $A_{4}A_{1}$, tạo tam giác $A_{1}A_{3}A_{4}$, gọi là tam giác 2.

Tương tự, ta tạo được 2007 tam giác như hai tam giác kia, không có tam giác nào chồng lên nhau.

$\Rightarrow S_{\Delta _{1}}+S_{\Delta _{2}}+S_{\Delta _{3}}+...+S_{\Delta _{2007}}\Rightarrow$ Tồn tại ít nhất một tam giác có diện tích bé thua $\frac{S}{2007}$