Cho $a,b,c\in \left [ \frac{1}{2};1 \right ]$ . Tìm Max của : $P=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}$
$P=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}$
Bắt đầu bởi Rias Gremory, 13-05-2016 - 15:40
#2
Đã gửi 13-05-2016 - 19:44
dunghoiten
-
- Thành viên
-
- 123 Bài viết
Trung sĩ
Cho $a,b,c\in \left [ \frac{1}{2};1 \right ]$ . Tìm Max của : $P=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}$
Tồn tại giá trị a,b,c để $P\geq 0$. Giả sử a=max{a,b,c}.
$\Rightarrow 1\geq a\geq c\geq b\geq \frac{1}{2}$
Ta có:
$P=f(a)=a(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})+\frac{c-b}{a}+\frac{b}{c}-\frac{c}{b}$
Tính đạo hàm, ta có:
$f'(a)=\frac{c-b}{bc}-\frac{c-b}{a^{2}}=\frac{(c-b)(a^{2}-bc)}{a^{2}bc}\geq 0.$
$\Rightarrow P\leq f(1)=\frac{(1-b)(1-c)(c-b)}{bc}\leq \frac{(1-\frac{1}{2})(1-c)(c-\frac{1}{2})}{\frac{1}{2}c}=-(c+\frac{1}{2c})+\frac{3}{2}\leq \frac{3}{2}-\sqrt{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dunghoiten: 13-05-2016 - 19:45
- Rias Gremory yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
