Cho tam thức bậc hai $P(x)=ax^2+bx+c$ ($a$ khác 0) thỏa mãn điều kiện $P(x^2-2)=P(x^2)-2$.Chứng minh:$P(x)=P(-x)$ với mọi $x$
Cho tam thức bậc hai $P(x)=ax^2+bx+c$ ($a$ khác 0) thỏa mãn điều kiện $P(x^2-2)=P(x^2)-2$.Chứng minh:$P(x)=P(-x)$ với mọi $x$
#1
Đã gửi 15-05-2016 - 09:57
#2
Đã gửi 15-05-2016 - 10:15
Cho tam thức bậc hai $P(x)=ax^2+bx+c$ ($a$ khác 0) thỏa mãn điều kiện $P(x^2-2)=P(x^2)-2$.Chứng minh:$P(x)=P(-x)$ với mọi $x$
Cách 1: Ta có $P(x^2-2) = a(x^2-2)^2 + b(x^2-2) + c = ax^4 +(b-4a)x^2 +4a-2b+c$
$P(x^2) -2 = ax^4 + bx^2 +c -2 $
Mà $P(x^2-2) = P(x^2)-2 => b-4a=b => a=0 $ vô lý
Vậy không có $P(x)$ thỏa
Cách 2: Ta có $P(-1)=P(1) -2 $
$a-b+c = a+b+c -2<=>b=1 $
Do đó $P(-x) = ax^2 - bx + c $ khác $P(x) $
Do đó đề sai
- O0NgocDuy0O, hoctrocuaHolmes và uchihasatachi061 thích
#3
Đã gửi 15-05-2016 - 10:36
Cách 1: Ta có $P(x^2-2) = a(x^2-2)^2 + b(x^2-2) + c = ax^4 +(b-4a)x^2 +4a-2b+c$
$P(x^2) -2 = ax^4 + bx^2 +c -2 $
Mà $P(x^2-2) = P(x^2)-2 => b-4a=b => a=0 $ vô lý
Vậy không có $P(x)$ thỏa
Cách 2: Ta có $P(-1)=P(1) -2 $
$a-b+c = a+b+c -2<=>b=1 $
Do đó $P(-x) = ax^2 - bx + c $ khác $P(x) $
Do đó đề sai
Bài này mình lấy từ 1 đề thi giải mãi thấy không ra nên đưa lên nhờ mọi người sửa lại đề cho đúng Bạn sửa đề giúp mình được không?
- O0NgocDuy0O và goopd thích
#4
Đã gửi 15-05-2016 - 14:14
Bài này mình lấy từ 1 đề thi giải mãi thấy không ra nên đưa lên nhờ mọi người sửa lại đề cho đúng Bạn sửa đề giúp mình được không?
Spoiler
Sai chỗ nào bạn, mình không thấy
#5
Đã gửi 15-05-2016 - 16:50
Bài này mình lấy từ 1 đề thi giải mãi thấy không ra nên đưa lên nhờ mọi người sửa lại đề cho đúng Bạn sửa đề giúp mình được không?
Spoiler
Sai chỗ nào bạn, mình không thấy
Sửa thế này nhé: $P(x^{2}-2)=P^{2}(x)-2.$ Đề thi chuyên Toán Năng Khiếu $2005-2006.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 15-05-2016 - 16:52
- hoctrocuaHolmes, kunsomeone và goopd thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#6
Đã gửi 16-05-2016 - 21:26
Sửa thế này nhé: $P(x^{2}-2)=P^{2}(x)-2.$ Đề thi chuyên Toán Năng Khiếu $2005-2006.$
Bài này thì cũng làm tương tự trên thôi
C1: Đồng nhất hệ số
$ax^4 +(b-4a)x^2 +4a-2b+c =a^2x^4 + 2abx^3 + (b+2ac)x^2+2bcx + c^2-2$
Khi đó đồng nhất hệ số, ta được $2ab=0 => b=0 => P(x)=P(-x) $
- hoctrocuaHolmes và uchihasatachi061 thích
#7
Đã gửi 17-05-2016 - 11:03
Bài này thì cũng làm tương tự trên thôi
C1: Đồng nhất hệ số
$ax^4 +(b-4a)x^2 +4a-2b+c =a^2x^4 + 2abx^3 + (b+2ac)x^2+2bcx + c^2-2$
Khi đó đồng nhất hệ số, ta được $2ab=0 => b=0 => P(x)=P(-x) $
Đúng là sau khi sửa đề thì bài này đã trở nên dễ dàng hơn
À bạn đã ghi cách 1 sao lại không ghi luôn cách 2,3,... để mọi người cùng tham khảo nhỉ
#8
Đã gửi 17-05-2016 - 11:37
Đúng là sau khi sửa đề thì bài này đã trở nên dễ dàng hơn
À bạn đã ghi cách 1 sao lại không ghi luôn cách 2,3,... để mọi người cùng tham khảo nhỉ
Cách khác: Từ $GT$ ta có: $\triangleright P(-1)=P^{2}(1)-2=P^{2}(-1)-2\Rightarrow P^{2}(1)=P^{2}(-1). (1)$
Tương tự thu được: $P^{2}(2)=P^{2}(-2). (2)$
$$(1)\Rightarrow (a+b+c)^{2}=(a-b+c)^{2}\Rightarrow b(a+c)=0.$$
$$(2)\Rightarrow b(4a+c)=0.$$
Từ đó: $3ab=0$. Mà $a$ khác $0$ nên $b=0.$
Suy ra: $$P(x)=ax^{2}+c=a(-x)^{2}+c=P(-x).$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 17-05-2016 - 11:38
- hoctrocuaHolmes, 01634908884, kunsomeone và 1 người khác yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#9
Đã gửi 23-05-2016 - 18:32
Sau khi sửa đề thi ta có được 1 cách giải ngắn gọn:
$P^2(x)-2=P(x^2-2)=P((-x)^2-2)=P^2(-x)-2 \Rightarrow (P(x)-P(-x))(P(x)+P(-x))=0$
Dễ dàng kiểm tra được $P(x)+P(-x)$ không đồng nhất $0$ nên $P(x)-P(-x)=0$, hay$P(x)=P(-x)$
- hoctrocuaHolmes yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh